- •Эконометрического моделирования План лекции
- •Введение
- •1.Предмет, цель и задачи эконометрики.
- •2.Этапы становления эконометрики
- •3. Введение в эконометрическое моделирование
- •4. Основные математические предпосылки эконометрического моделирования
- •5. Основные этапы и проблемы эконометрического моделирования
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 2. Парная линейная регрессия и корреляция План лекции
- •Введение
- •1. Модель линейной парной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •2. Коэффициент корреляции
- •3. Основные положения регрессионного анализа. Теорема Гаусса – Маркова
- •4. Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент детерминации
- •5. Построение интервальных прогнозов по модели парной регрессии
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 3. Множественный регрессионный анализ План лекции
- •Введение
- •1. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии
- •2. Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов
- •3. Предпосылки для множественного регрессионного анализа.
- •Теорема Гаусса-Маркова.
- •4. Стандартизированное уравнение линейной множественной регрессии
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 4. Множественная корреляция План лекции
- •Введение
- •1. Множественная линейная корреляционная зависимость
- •2. Частные коэффициенты корреляции
- •3. Коэффициент множественной корреляции
- •4. Отбор факторов в случае линейной множественной регрессии
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 5. Линейные регрессионные модели
- •1. Суть гетероскедастичности, ее последствия
- •2. Тесты, позволяющие выявить наличие гетероскедастичности остатков
- •3. Устранение гетероскедастичности
- •4. Автокорреляция остатков, ее последствия. Обнаружение автокорреляции остатков
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 6. Линейные регрессионные модели
- •1. Фиктивные переменные
- •2. Модели регрессии с фиктивными переменными сдвига
- •3. Модели регрессии с фиктивными переменными наклона
- •4. Критерий г. Чоу
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 7. Модели временных рядов План лекции
- •Введение
- •1. Понятие временного ряда. Общий вид модели временного ряда
- •2. Проверка гипотезы существования тенденции
- •3. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция
- •Авторегрессия первого порядка. Тест Дарбина-Уотсона
- •4. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда
- •6. Процесс построения аддитивной модели временного ряда
- •7. Прогнозирование на основе моделей временного ряда
- •8. Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8: модели с лаговыми переменными План лекции
- •Введение
- •1. Модели с распределенными лагами
- •2. Модели авторегрессии
- •3. Авторегрессионные модели и их моделирование
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 9. Системы линейных одновременных уравнений План лекции
- •Введение
- •1. Структурная и приведенная формы моделей
- •2. Проблема идентификации
- •Матрица коэффициентов (1)
- •Матрица коэффициентов (2)
- •Матрица коэффициентов (3)
- •3. Оценивание параметров структурной модели
- •Условные данные по пяти регионам
- •Контрольные вопросы:
- •Используемая литература
Тема 5. Линейные регрессионные модели
С ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНЫМИ
И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫМИ ОСТАТКАМИ
План лекции
1. Суть гетероскедастичности, ее последствия.
2. Тесты, позволяющие выявить наличие гетероскедастичности остатков.
3. Устранение гетероскедастичности.
4. Автокорреляция остатков, ее последствия. Обнаружение автокорреляции остатков.
Введение
При моделировании реальных экономических процессов мы нередко сталкиваемся с ситуациями, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными. В частности, могут не выполняться предпосылки 3 и 4 регрессионного анализа о том, что случайные возмущения (ошибки) модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированы между собой.
Выполнимость предпосылки: дисперсия случайных отклонений постоянна, называется гомоскедастичностью. Невыполнимость – гетероскедастичностью.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями.
Автокорреляция определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные).
1. Суть гетероскедастичности, ее последствия
При практическом проведении регрессионного анализа с помощью МНК следует обратить серьезное внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений моделей. Как отмечалось ранее, свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса - Маркова), так как при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами.
На практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайных отклонений при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определенных наблюдениях и малыми – при других, но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому важно понимать суть этого явления и его последствия.
На рис. 5.1 приведены два примера линейной регрессии – зависимости потребления С от дохода I: .
Рис. 5. 1
В обоих случаях с ростом дохода растет среднее значение потребления. Но если на рис.5.1, а дисперсия потребления остается одной и той же для различных уровней дохода, то на рис.5.1,б при аналогичной зависимости среднего потребления от дохода дисперсия потребления не остается постоянной, а увеличивается с ростом дохода. Фактически это означает, что во втором случае субъекты с большим доходом в среднем потребляют больше, чем субъекты с меньшим доходом, и, кроме того, разброс в их потреблении более существенен для большего уровня дохода. Люди с большим доходом имеют больший простор для его распределения. Реалистичность данной ситуации не вызывает сомнений. Разброс значений потребления вызывает разброс точек наблюдения относительно линии регрессии, что и определяет дисперсию случайных отклонений. При гомоскедастичности дисперсии постоянны, а при гетероскедастичности дисперсии изменяются (в нашем случае увеличиваются).
При гетероскедастичности последствия применения МНК будут следующими:
Оценки коэффициентов по-прежнему останутся несмещенными и линейными.
Оценки не будут эффективными (т.е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.
Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением. Смещенность появляется вследствие того, что не объясненная уравнением регрессии дисперсия (m – число объясняющих переменных), которая используется при вычислении оценок дисперсий всех коэффициентов, не является более несмещенной.
Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих и – статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, - статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющихся.
На рис. 5.2 видно, что для каждого конкретного значения СВ Х переменная Y принимает значение из некоторого множества, имеющего свое распределение, отличное одно от другого в силу непостоянства дисперсий (сравните распределения для значений и ).
Рис. 5. 2
По МНК минимизируется сумма квадратов отклонений
.
Но в этом случае каждое конкретное значение в данной сумме имеет одинаковый «вес» вне зависимости от того, получено оно из распределения с маленькой дисперсией (например, ) или с большой (например, ). но это противоречит логике, так как точка, полученная из распределения с меньшей дисперсией, более точно определяет направление линии регрессии. Поэтому она должна иметь больший «вес», чем точка из распределения с большей дисперсией. Следовательно, методы оценивания, учитывающие «веса» точек наблюдений, позволяют получать более точные (эффективные) оценки. Учет «весов» точек характерен, например, для метода взвешенных наименьших квадратов, рассмотренного ниже.