3. Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены раз­ными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

• трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);

• метод максимального правдоподобия с полной информа­цией (ММП_f);

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП₅).

Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традици­онные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наи­меньших квадратов применяется для идентифицируемой систе­мы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наимень­ших квадратов — для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.

Приведем здесь косвенный метод наименьших квадратов. Косвенный метод наименьших квадра­тов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

• структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

• для каждого уравнения приведенной формы модели обыч­ным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (_ij);

• коэффициенты приведенной формы модели трансформиру­ются в параметры структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для простейшей идентифи­цируемой эконометрической модели с двумя эндогенными и дву­мя экзогенными переменными:

Пример. Пусть для построения данной модели мы распола­гаем некоторой информацией по пяти регионам (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Условные данные по пяти регионам

Регион	у1	у2	х1	х2
1 2 3 4 5 Средние	2 3 4 5 6 4	5 6 7 8 5 6,2	1 2 3 2 4 2,4	3 1 2 5 6 3,4

При практических расчетах требуется, конечно, значительно больший объем информации, включающий достаточно большое число регионов.

Приведенная форма модели составит:

где и₁, и₂ – случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели приме­няем традиционный МНК и определяем -коэффициенты.

Чтобы упростить процедуру расчетов, можно работать с отклонениями от средних уровней, т. е. у = у – и х = х – . Тогда для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Применительно к рассматриваемому примеру, используя от­клонения от средних уровней, имеем:

Решив данную систему, получим следующее первое уравне­ние приведенной формы модели:

у₁ = 0,852х₁ + 0,373х₂ + и₁.

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приве­денной формы модели и получаем:

у₂ = ₂₁х₁ + ₂₂х₂ + и₂.

Система нормальных уравнений составит:

В соответствии с нашим примером имеем:

Откуда второе приведенное уравнение составит:

у₂ = – 0,0728х₁ – 0,00557х₂ + и₂.

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Переходим от приведенной к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы мо­дели надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения приве­денной формы и подставив в первое:

Тогда:

– первое уравнение структурной мо­дели.

Для того чтобы найти второе уравнение структурной модели, обратимся вновь к приведенной форме модели. С этой целью из второго уравнения приведенной формы модели следует исклю­чить х₁, выразив его через первое уравнение и подставив во второе:

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Оценка значимости модели дается через F-критерий и R² для каждого уравнения в отдельности. В рассматриваемом примере хороших результатов достичь не удалось: ввиду малого числа наблюдений значения F-критерия Фишера несущественны (при уровне значимости 0,05 F-табличное значение равно 19, а фактическое F = 7 для первого уравнения).