Неантагонистические игры

N={1,2,…,N} — число игроков (больше двух).

Возможны следующие ситуации:

1. совместные действия игроков (коалиции) запрещены по условиям игры, и тогда игра называется бескоалиционной;

2. совместные действия не запрещены, игроки могут образовывать коалиции и действовать совместно. Такие игры называются кооперативными.

Бескоалиционные игры

В таких играх каждый игрок действует самостоятельно.

Игра Г=<N, {x_i}, i N, {H_i}, i N> , где N — множество игроков, x_i-множество стратегий i-го игрока, H_i — множество функций выигрыша каждого игрока для каждой ситуации.

Каждый игрок выбирает некоторую стратегию из множества x_i :

i x⁽ⁱ⁾ x_i , получаем ситуацию (x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(N)). В результате каждый из игроков получает выигрыш H_i(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(N)), i N.

Это описание бескоалиционной игры в нормальной форме. Игроки выбирают свои стратегии x_i независимо друг от друга. Если для каждого игрока множество стратегий x_i конечно, то получаем конечную бескоалиционную игру. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число стратегий, то это бесконечная бескоалиционная игра.

Простейшей бескоалиционной игрой является игра двух лиц. Они могут не только выигрывать или проигрывать, но и делать это совместно (одновременно выигрывать или проигрывать).

Опишем такую игру (бескоалиционную) в нормальной форме:

Г=<x₁,x₂,H₁,H₂>, где {x₁,x₂}-множество стратегий, H₁,H₂— функции выигрыша.

(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) H₁(x⁽¹⁾,x⁽²⁾), H₂(x⁽¹⁾,x⁽²⁾)

Ясно, что если игра конечна, то матрицу Н можно рассмотреть как

H₁=(a_ij) m*n A

H₂=(b_ij) m*n B

Такую игру называют биматричной: Г=<A,B>; a_ij= -b_ij , , , следовательно, игра антагонистическая.

Охрана воздушного бассейна от загрязнений атмосферы

В районе имеется N предприятий, которые выбрасывают в атмосферу выбросы. Ω — экологически значимая зона, где контролируется количество вредных примесей в атмосфере; величина этих вредных примесей Q ограничена ПДК (предельно допустимые концентрации). Усредненное значение:

,где x_i – выбросы i-го предприятия, 0 х_i a_i

Если > ПДК, то задача получает существенный смысл.

Считая предприятия игроками, можно рассмотреть следующую игру на загрязнение атмосферы.

Каждое i-е предприятие может добиться снижения своих расходов за счет увеличения x_i, и получать при этом дополнительную прибыль:

Будем считать, что h_i — дополнительная прибыль, которую получает предприятие. Это непрерывно возрастающая функция при увеличении аргумента х_i.

В настоящее время разработано несколько принципов рационального поведения нескольких игроков. Наиболее универсальными являются принцип равновесия по Нэшу и принцип равновесия по Парето.

Принципы оптимальности в бескоалиционных играх

Ранее рассматривались антагонистические игры, у которых принцип минимакса и принцип равновесия совпадают. Это совпадение определяет единое понятие оптимальности и решения игры. В теории неантагонистических игр нет единого подхода к выработке принципа оптимальности. В литературе имеется множество таких принципов, каждый из которых требует своих особых предположений о поведении игроков и о структуре игры. Предположим, что в игре Г каждый из игроков стремится к ситуации x=(х⁽¹⁾,…,х^(N)), при которой максимизируется его выигрыш: H_i(x) max. Но для других игроков эта ситуация может приводить к противоречивому результату: H_j(x) . Для оценки качества ситуаций (x⁽¹⁾…x^(N) ) часто используется принцип равновесия по Нэшу и его различные обобщения.

Пусть х=(x⁽¹⁾… x⁽ⁱ⁾,x⁽ⁱ⁺¹⁾…x^(N)) — произвольная ситуация в игре Г, а x⁽ⁱ⁾ — некоторая стратегия игрока i. Обозначим через (x//x₁⁽ⁱ⁾) ситуацию, которая отлична от х только тем, что стратегия x⁽ⁱ⁾ заменена на x₁⁽ⁱ⁾ . Тогда выражение

H_i(x//x₁⁽ⁱ⁾)=Н(x⁽¹⁾… x₁⁽ⁱ⁾,x⁽ⁱ⁺¹⁾…x^(N)) определяет выигрыш i-ого игрока при такой замене.

Ситуация x*=(x₁*…x_N*) называется ситуацией равновесия по Нэшу, если для всех x x_i и верно неравенство:

H_i(x*) H_i(x*//x⁽ⁱ⁾)

Т.е. всякое отклонение от ситуации равновесия ведет к снижению выигрыша.

Если ситуация x* достигнута путем предварительной договоренности, то никому из участников договора не выгодно изменять его условия.

Стратегия x_k⁽ⁱ⁾ (k-ая стратегия i-ого игрока), входящая хотя бы в одну из ситуаций равновесия по Нэшу, называется равновесной.

Рассмотрим игру Г=<X₁,X₂,H₁,H₂>. Для бескоалиционной игры двух лиц ситуация x₁*,x₂* называется ситуацией равновесия, если

H₁(x₁,x₂*) H₁(x₁*,x₂*) , x₁ X₁

H₂(x₁*,x₂) H₁(x₁*,x₂*) , x₂ X₂

Для матричной игры, где H₁=(a_ij) m*n , H₂=(b_ij) m*n условия равновесия по Нэшу имею вид:

a_ij* a_i*j*

b_i*j b_i*j*

Особенности ситуации в матричной игре рассмотрим на примере игры «семейный спор».

2 игрока — муж и жена — решают, как провести вечер. Ситуация описывается следующей матрицей:

м ж

а₁₁=4 b₁₁=1 ( — “пойти на боксерский матч”)

а₂₂=1 b₂₂=4 ( — “пойти на показ мод”)

0 0 ( — если не договорятся и никуда не пойдут)

A/B=

В данном случае ситуации x_1,y₁ и x_2,y₂, где наблюдается наибольший выигрыш, не являются ситуациями равновесия по Нэшу, т.к. один из игроков в этих ситуациях имеет возможность увеличить свой выигрыш путем изменения своей стратегии на противоположную.

Другим принципом оптимальности в бескоалиционных играх является принцип оптимальности по Парето.