Допустимые стратегии в статистических играх
Допустим, что рассматривается смешанная стратегия:
P(x)=
(a).
Возможно два случая:
Нельзя найти ’(а) — другая стратегия, когда потери:
L(V, ’) L(V, ), V Z
Если такая стратегия ’(a) существует, то стратегия (а) недопустима.
(а)
a
=
x
(a
)
p(x
)
Стратегия (а) — допустимая, если нельзя найти другую стратегию ’(a): L(V, ’) L(V, ) — условие допустимости стратегии (а).
Допустимая стратегия не обязательно является предпочтительной. Допустимую стратегию удобно рассматривать в рамках S-игры.
Если V=(V V ), то потери можно рассмотреть на плоскости.
Множество значений этих потерь можно сопоставить с выпуклой линейной оболочкой S*.
Рассмотрим некоторую
точку S
S*,
проведём отрезок из начальных координат
в эту точку. Очевидно, что все точки,
расположенные на этом луче и множество
S*
будут давать потери, меньшие, чем потери
S.
Наименьшие потери будут а точке S
,
которая является пересечением луча и
нижней левой границы выпуклой оболочки.
Допустимыми могут быть стратегии, принадлежащие участку линейной оболочки, который является дугой AB. Все стратегии, которые определяются точками линейного множества S*, не принадлежащие её левой нижней границе, можно исключить из рассмотрения. А точки, принадлежащие дуге АВ, в некотором смысле эквивалентны, т. к. при перемещении по этим точкам можно уменьшить потери в одном состоянии и увеличить в другом (сразу всё уменьшить невозможно).
Пример: «задача о технологической линии»
Нижняя левая граница состоит из точек C , C и С
WC
+(1-W)C
WC
+(1-W)C
Смешанная стратегия (а) = (W, 1-W, 0), (a) = (0, W, 1-W)
Определим потери статистика для этих стратегий: L(V , ) = W*0 + 1*(1-W) = 1-W, L(V , ) = 5*W + 3(1-W) = 3 + 2W
L(V , ) = 1*W + 3(1-W) = 3 – 2W
L(V , ) = 3W + 2(1-W) = 2+ W
Рассмотрим возможные пути выбора смешанных стратегий статистика.
Принцип минимакса (min max);
Байесовский принцип.
Принцип минимакса ориентирует статистика на выбор такой смешанной стратегии (а), при которой его потери в наихудшем состоянии природы минимальны.
Применим этот принцип для выбора W в задаче.
1 случай:
В наихудшем
состоянии природы эти потери определяются
прямой V
:
W
= 0
*(0
1 0), потери равны 3.
2 случай:
3
-2W
= 2 + W
1 = 3W; W = 1/3
*
(0 1/3 2/3); V
= 7/3 (цена игры).
В наихудшем состоянии природы потери определяются верхней границей, минимум в точке О.
Иногда значение
функции потерь удобно приводить к
определённому нулевому уровню. Очевидно,
для нахождения состояния природы L(V
,
a
)
L(V
,
a
)
Этот минимум определяет минимальные затраты, которые может понести статистик при каждом состоянии природы.
L’(V,
)
= L(V,
)
-
L(V,
a)
В предыдущей задаче о ПДК потери определялись бы следующим образом:
V |
a1 |
a2 |
a3 |
V1 |
0 |
1-0=1 |
3-0=3 |
V2 |
5-2=3 |
3-2=1 |
2-2=0 |
Очевидно, что принцип минимакса можно применять и для дополнительных потерь.
Байесовский принцип направлен на принятие решения, исходя из априорных оценок вероятностей состояния природы.
q(V)
(V)
Если q — априорная вероятность состояния природы, то можно говорить о потерях:
L(
,
)
=
Матрица потерь статистика в игре:
*
=
(V ), i =
L(
,
)
=
L(V
,
a
)
*
(a
)
*
(V
)
min
Наилучшей стратегией будет та, при которой байесовские потери L( , ) будут минимальными. Аналогично можно применить байесовский принцип при дополнительных потерях.
Пример: (та же задача)
1 ситуация:
(V ) = 0,6. Найдём оптимальную байесовскую стратегию в этой задаче.
(V ) = 0,4
L(
)
= (1-W)*0,6
+ (3 + 2W)*0,4
= 1,8 + 0,2W
1,8
при W
= 0.
(0, 1, 0) – нужно применять вторую технологию.
2 ситуация:
L( ) = 0,6*(3-2W) + 0,4(2 + W) = 2,6 – 0,8W min W=1