- •Основные понятия теории игр
- •Классификация игр
- •Описание игры в развернутой форме
- •Бескоалиционные игры
- •Приемлемые ситуации и ситуации равновесия в игре
- •Стратегическая эквивалентность игр
- •Антагонистические игры. Общие сведения
- •Чистые и смешанные стратегии
- •Верхняя и нижняя цены игры при использовании смешанных стратегий
- •Основная теорема антагонистических игр.
- •Верхние и нижние цены в s-игре
- •Разделительная и опорная гиперплоскость двух выпуклых множеств
- •Теорема о минимаксе
- •Геометрическая интерпретация минимакса
- •Решение антагонистических игр. Доминирующие и полезные стратегии
- •Игры с частными случаями платежных матриц
- •Решение матричных игр
- •Линейное программирование для решения матричных игр
- •Графическое решение игр 2*n и m*2
- •Бесконечные антагонистические игры
- •Строго выпуклые игры на единичном квадрате
- •Неантагонистические игры
- •Бескоалиционные игры
- •Охрана воздушного бассейна от загрязнений атмосферы
- •Принципы оптимальности в бескоалиционных играх
- •Принцип оптимальности по Парето
- •Смешанное расширение бескоалиционной игры
- •Коалиционные и кооперативные игры
- •Характеристическая функция коалиционной игры
- •Свойства характеристической функции
- •Дележи в кооперативной игре
- •Стратегическая эквивалентность кооперативных игр
- •Общие сведения об играх с природой или теория статистических решений.
- •Пространство стратегий природы
- •Пространство стратегий статистика и функция выигрыша
- •Критерии выбора решений при неопределённости
- •Статистические игры без эксперимента. Представление игры с природой в виде s-игры
- •Допустимые стратегии в статистических играх
- •Геометрическая интерпретация выбора байесовской стратегии
- •Статистические игры с проведением единичного эксперимента Общие сведения
- •Пространство выборок
- •Функции риска
- •Принцип выбора стратегий в играх с единичным экспериментом.
- •Байесовский принцип.
- •Число чистых стратегий статистика в игре с единичным экспериментом.
- •Апостериорные распределения вероятности.
- •Определение байесовских решений с использованием апостериорных вероятностей
- •Двуальтернативная задача
- •Анализ целесообразности проведения экспериментов
- •Использование апостериорной вероятности для определения последовательных байесовских правил
- •Правило последовательных выборок
- •Функция риска при оптимальном последовательном правиле
Верхние и нижние цены в s-игре
Дальше будем обозначать S-игру через . Для перехода от игры к S-игре вместо пространства смешанных стратегий второго игрока необходимо использовать пространство S-стратегий, т.е. выпуклую оболочку . Обозначим потери второго игрока в S-игре через , тогда S — игра зависит от P, и , причем потери должны быть найдены как скалярное произведение . Таким образом, выражение определяет S-игру. Функция потерь определяется выражением:
.
Рассмотрим процедуру оценки верхних и нижних цен в S-игре. Если первый игрок применяет смешанную стратегию , то значение его гарантированного выигрыша
.
Обозначим через такую стратегию первого игрока, при которой достигает максимума:
(эта нижняя цена игры совпадает с ценой игры в обычной форме в силу эквивалентности S-игры с обычной игрой). Стратегию называют максиминной стратегией первого игрока.
Предположим теперь, что второй игрок применяет некоторую стратегию . При этом значение его проигрыша . Тогда второго игрока будет интересовать стратегия:
. Стратегию называют минимаксной стратегией второго игрока.
Таким образом, максиминная стратегия первого игрока определяет нижнюю цену в S-игре:
.
Аналогично стратегия определяет верхнюю цену в S-игре:
.
Выражения для и можно представить в более удобном виде, если воспользоваться теоремой.
Теорема. Если S — произвольная точка m-мерного пространства и — многомерная переменная, то имеет место соотношение
.
Доказательство. Пусть . Рассмотрим частное значение p, соответствующее случаю
при и при . В этом случае . Таким образом, является частным значением скалярного произведения , а значит, подмножеством множества значений , получающихся при всевозможных значениях p. На основании теоремы о верхней границе подмножества находим
.
С другой стороны, заменяя в выражении для значения на максимальное значение , получаем
.
Это выражение справедливо при любом p. Сопоставляя два последних выражения приходим к соотношению:
. Теорема доказана.
Если воспользоваться доказанной теоремой, то выражение для B(S) можно переписать в виде
.
Из этого равенства вытекают два следствия:
, т.е. любая точка имеет по крайней мере одну координату, не меньшую, чем верхняя цена игры;
Если в качестве S взять , то получим:
. Верхняя цена игры равна максимальной из координат точки , определяющей минимаксную стратегию второго игрока.
Разделительная и опорная гиперплоскость двух выпуклых множеств
Пусть S и T – два выпуклых непересекающихся множества. Теория выпуклых множеств доказывает существование гиперплоскости , называемой разделительной, такой что, множества S и T лежат в разных полупространствах. Среди разделительных можно найти такую гиперплоскость , называемую опорной, и имеющей с S по крайней мере одну общую точку.
Для описания некоторых видов выпуклых множеств используется понятие крайней точки. Любая крайняя точка не может располагаться внутри отрезка, соединяющего любые две точки этого множества, а может располагаться на границе этого отрезка (или быть концевой):
: , ,
Очевидно, что любая крайняя точка является и граничной точкой выпуклого множества, но не все граничные точки являются крайними.
Выпуклым многогранником называется выпуклое множество с конечным числом крайних точек.
Теорема 1. Каждая опорная гиперплоскость выпуклого множества S содержит его крайнюю точку.
Теорема 2. Выпуклое множество S является средневзвешенным множеством из его крайних точек.
Сопоставляя эти утверждения, приходим к выводу, что выпуклая оболочка конечного множества A является выпуклым многогранником, вершинами которой являются крайние точки множества A.