Геометрическая интерпретация выбора байесовской стратегии

Пусть имеется игра с двумя состояниями природы L(V , a) и L(V , a)

(a) — смешанная стратегия статистика.

Построим вспомогательное множество, состоящее из всех точек, лежащих левее и ниже S .

Считают, что множества S* и Q выпуклые и не пересекаются. Следовательно, можно провести прямую, разделяющую два этих множества. Эта прямая должна проходить через точку S . Эта прямая является опорной.

Эта прямая:

1. Вертикальная;

2. Горизонтальная;

3. Имеет отрицательный наклон

Уравнение y = -kx + c, k>0

ax + by = c’*k >0

a = k/(k+1); b = 1/(k+1); c’ = c/(k+1); a, b, c >0; a + b = 1

Величины a и b можно толковать как вероятности состояний природы

a = (V ) = W; b = (V ) = 1-W; (1-W)*y = c’.

Т. о. величина c’ определяет средние байесовские потери статистика L( ) при априорных вероятностях W и (1-W) состояний природы. Нетрудно убедиться в том, что эти значения c’ являются минимальными для всех значений L( ), т. к. при c’’ > c’(справа от прямой) эта прямая не будет иметь общих точек с нижней левой границей и будет соответствовать недопустимым стратегиям статистика. Если c’’ < c’, то тоже не будет общих точек с S* (слева от прямой).

Т. о. можно утверждать, что каждая допустимая стратегия статистика является байесовской при некоторых вероятностях состояния природы.

Можно расмотреть обратную задачу: пусть известны W и (1-W) — вероятности состояния природы, V и V . Требуется определить точку S S*, соответствующую этим значениям вероятности. Тогда априорные вероятности W и (1-W) определят некоторую прямую W*x + (1-W)*y = c/

x /(1-W) + y/W = c’

c’ = c/W(1-W), W (0,1)

Если менять C’, то прямая будет перемещаться параллельно самой себе.

Далее рассмотрим выпуклую линейную оболочку дискретного множества чистых стратегий статистика S*.

Нижняя левая граница определяется двумя линиями. Меняя C’ можно добиться того, чтобы эта прямая касалась множества S*.

S* — многоугольник с вершинами, соответствующими чистым стратегиям статистика. В этом случая прямая должна проходить хотя бы через одну из его вершин. Следовательно, для любых чисел W и (1-W), являющихся априорными вероятностями состояния природы, всегда существует хотя бы одна байесовская стратегия статистика, которая является чистой. Это обстоятельство при поиске байесовских решений позволяет ограничиться анализом допустимых чистых стратегий статистка, а не рассматривать бесконечное число его смешанных стратегий.

Статистические игры с проведением единичного эксперимента Общие сведения

Как отмечалось ранее, в статистических играх статистик имеет возможность проводить действия, углубляющие его сведения о состоянии природы (путём экспериментов).

Если нет ограничений во времени и средствах для проведения эксперимента, то статистик может получить полезную информацию о состоянии природы, однако суммарные затраты средств и времени, связанные с проведением эксперимента, могут превосходить дополнительный выигрыш, который может дать использование результатов этого эксперимента. В этой же ситуации возможность проведения эксперимента значительно расширяет класс стратегий статистика.

Проблемы:

1. Надо или нет проводить эксперимент;

2. Если надо, то сколько опытов произвести, чтобы считать эксперимент законченным;

3. Какие действия должен предпринимать статистик при тех или иных исходах эксперимента.

Сначала будем считать, что первый вопрос уже решён положительно.

При проведении эксперимента получаются различные его исходы. Например, единичный эксперимент заключается в n-кратном подбрасывании монеты: ГГРГГГРР… Г, (Г — герб, Р — решка). Всего возможных исходов 2 . Эти последовательности образуют пространство выборок (исходов эксперимента).