Критерии выбора решений при неопределённости
Простейшими критериями, не использующим понятие вероятности состояния природы, являются следующие:
Максиминные критерии;
Критерий минимаксного риска;
Критерий пессимизма-оптимизма;
Критерий недостаточного обоснования.
Максиминные критерии (критерии Вальда, крайнего пессимизма) — природа ведёт себя как агрессивный игрок, задача игры статистика с природой является обычной антагонистической игрой двух лиц (этот критерий при выборе решения ориентируется на наихудшее состояние природы).
Критерий минимаксного риска (Савиджа) — усовершенствованный максиминный критерий, когда качество выбора решения оценивается исходя из матрицы рисков (из максимального риска выбирается минимальный).
Критерий пессимизма- оптимизма(Гурвица) — позволяет принимать решение на основе некоторой взаимной оценки выигрыша в условиях крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. Оптимальная стратегия выбирается из условия
H
=
(
*min
a
+(1-
)*
a
),
[0,1]
условие крайнего условие крайнего
пессимизма оптимизма
Как выбирать - неизвестно.
Если = 0, то нужно ориентироваться на максимальный выигрыш;
Если = 1, то нужно ориентироваться на минимальный выигрыш.
Критерий недостаточного обоснования:
V
=
1/n*
,
i=
V
x
Т. о. критерий, не использующий понятие вероятности состояния природы, позволяет выбрать одну из чистых стратегий статистика.
Кроме чистых стратегий должны быть и смешанные стратегии. При рассмотрении методов, позволяющих определить смешанные стратегии, рассмотрим в виде статистической игры без эксперимента.
Статистические игры без эксперимента. Представление игры с природой в виде s-игры
Статистические игры могут быть представлены в виде S-игры, как это делалось в стратегических играх, т. к. и в данном случае представление в виде S-игры ориентировано на минимаксное решение.
Рассмотрим представление на примере.
Пример: задача о замене оборудования. Дорогое оборудование после k лет эксплуатации может оказаться в одном из трёх состояний.
z =V — оборудование работоспособно, требует лишь мелкого ремонта;
z =V — некоторые детали серьёзно износились, требуется капитальный ремонт;
z =V — основные детали очень износились, требуется полная замена.
Прошлые годы эксплуатации показывают, что оборудование может находиться в 1-ом состоянии с вероятностью q = 0,2; во 2-ом состоянии — с вероятностью q = 0,5; в 3-ем состоянии — с вероятностью q = 0,3. В качестве статистика рассмотрим руководство предприятия, которое может принять 3 различных способа действий:
x =a — оставить оборудование работать ещё год, сделав мелкий ремонт своими силами;
x =a — будет вызвана организация для выполнения капитального ремонта;
x = a — будет демонтировано старое и куплено новое оборудование.
В примере установлена матрица потерь, которые понесёт предприниматель, принимая решение x = a в условиях z =V .
Таблица потерь:
V |
q(V) |
a1 |
a2 |
a3 |
L(V,a1) |
L(V,a2) |
L(V,a3) |
V1 |
0,2 |
1 |
3 |
5 |
4,8 |
3,4 |
3,9 |
V2 |
0,5 |
5 |
2 |
4 |
|||
V3 |
0,3 |
7 |
6 |
3 |
Очевидно, что наименьшие потери предприятие понесёт при стратегии a (x ). Т. о. определяющую средние потери a (x ) называют байесовскими потерями.
В пространстве эту игру можно представить следующим образом:
C
1
= (1,5,7)
C2 = (3,2,6)
C3 = (5,4,3)
Статистик минимизирует свои потери, играя за природу.
Пример:
На обработку поступает сырьё.
Вероятность
0,6 V <ПДК (предельно допустимая концентрация)
0,4 V >ПДК
Для обработки этого сырья можно использовать три технологии a , a , a .Затраты, которые понесёт предприятие, представлены в следующей таблице:
V |
q(V) |
a1 |
a2 |
a3 |
L(V,a1) |
L(V,a2) |
L(V,a3) |
V1 |
0,6 |
0 |
1 |
3 |
2 |
1,8 |
3,6 |
V2 |
0,4 |
5 |
3 |
2 |
a — оптимальная байесовская стратегия. Эту игру можно рассмотреть в виде S-игры на плоскости:
S* — линейно выпуклая оболочка игры
Эта линейная выпуклая оболочка представляет область всех возможных стратегий статистика, как чистых, так и смешанных. Возникает вопрос: как выбирать оптимальную стратегию в этой игре?
Вопрос о выборе оптимальной стратегии остаётся открытым. Тем не менее, не давая ответа на вопрос что нужно делать, можно ответить на вопрос, что делать не нужно в этой игре.
Вводится понятие допустимых стратегий, аналогичное понятию недоминируемых стратегий в матричных играх).