1.1. Потеря устойчивости прямого стержня под действием осевой сжимающей силы
Равновесие прямого стержня, сжимаемого осевыми силами, может быть устойчивым и неустойчивым.
При устойчивом равновесии прямолинейный сжимаемый стержень, выведенный из состояния равновесия, например, поперечной силой возвращает свою первоначальную форму после снятия внешней нагрузки.
При неустойчивом равновесии сжимаемый стержень, выведенный из состояния равновесия, продолжает деформироваться в направлении отклонения, а после прекращения воздействий в исходное состояние не возвращается.
Между двумя этими состояниями существует, так называемое, критическое состояние, характеризуемое критической сжимающей силой.
Достижение нагрузками критических значений равносильно разрушению конструкции, так как неустойчивая форма равновесия обязательно будет утрачена, а деформации и напряжения будут неограниченно расти.
При потере устойчивости (устойчивой формы равновесия) разрушение происходит внезапно от изгиба, когда прочность элемента на сжатие еще далеко не исчерпана.
Рассмотрим два способа определения критической силы. Первый из них классический метод Эйлера.
Рис. 1. Схема потери устойчивости прямого сжимаемого стержня
При потере устойчивости прямой стержень изгибается, а в поперечных сечениях возникает внутренний момент
.
(1.1)
По теории стержней этот момент и прогибы связаны дифференциальной зависимостью
,
(1.2)
где
.
Решение дифференциального уравнения (2) имеет следующий вид
(1.3)
где
и
– постоянные, определяемые из граничных
условий.
При
,
.
(1.4)
Отсюда
.
При
,
.
(1.5)
Поскольку не может равняться нулю получаем условие для определения критической сжимающей силы
.
(1.6)
Решение этого тригонометрического уравнения
.
(1.7)
Подставляя в (7)
выражение для
и полагая, что для определения минимальной
критической силы
,
получим выражение для критической силы,
которое называется формулой Эйлера
.
(1.8)
В основу второго метода расчета на устойчивость положен энергетический подход, и он позволяет рассматривать более сложные задачи. Для знакомства с этим методом рассмотрим предыдущую задачу
Рис. 2. Расчетная схема определения критической силы энергетическим методом
Согласно
энергетическому принципу при потере
устойчивости прямого стержня работа
,
совершенная силой
,
превращается в потенциальную энергию
изогнутого стержня
.
Потенциальную энергию деформации изогнутого стержня можно определить, если известно выражение для изгибающего момента
.
(1.9)
С учетом дифференциальной зависимости изгибающего момента и прогиба
.
(1.10)
Для вычисления
работы
необходимо выразить продольное
перемещение
,
через поперечные перемещения
.
Для малых перемещений получаем
,
(1.11)
где
– угол поворота поперечного сечения
стержня.
Между прогибом и углом поворота , также существует дифференциальная зависимость
.
(1.12)
С учетом этого
.
(1.13)
Работа силы
.
(1.14)
Приравнивая и , получаем выражения для определения критической силы
.
(1.15)
Таким образом,
энергетический метод позволяет
определить критическую силу
,
если задано уравнение прогибов
.
Важно отметить, что это уравнение может
быть задано приближенно, но так чтобы
оно удовлетворяло граничным условиям.
Для рассматриваемого примера (рис. 2) можно выразить прогиб тригонометрической функцией
.
(1.16)
Получив первую и вторую производные от (1.16) и подставив в (1.15) легко получить точно формулу Эйлера (1.8). Это позволяет сделать вывод о том, что для решения практических задач можно применять приближенный энергетический метод и получать достаточно точные решения.