1.4. Энергетический метод определения критической силы
Для анализа продольной устойчивости трубопровода с начальным изгибом (рис. 6) принимается модель грунта с ограниченным сопротивлением поперечным перемещениям вверх (рис. 5).
Для первого участка
сопротивления грунта,
(рис. 6), дифференциальное уравнение
продольно-поперечного изгиба стержня
(трубопровода) с начальным изгибом на
упругом основании имеет следующий вид
(1.24)
где
– коэффициент пропорциональности,
который в данном случае кроме сопротивления
самого грунта учитывает вес трубопровода
с продуктом
;
(1.25)
и
–
начальный и дополнительный прогибы
сечений изогнутой трубы;
– продольное сжимающее усилие в начале рассматриваемого участка изогнутого трубопровода.
Для второго участка,
.
(1.26)
Рис. 6. Расчетная схема подземного трубопровода с изгибом вверх
Точное совместное
решение уравнений (1.24) и (1.25) получить
достаточно сложно, поэтому для практических
задач чаще используют энергетические
методы, один из которых в простейшей
постановке рассмотрен в разделе 1.1. При
решении более сложных задач определяют
полную энергию системы
,
которая равна разности потенциальной
энергии деформации
и работе внешних сил на возможных
перемещениях
.
(1.27)
Чтобы составить функционал энергии для рассматриваемой задачи, необходимо задать форму волны выпучивания трубопровода, подобно выражению (1.16). В работе [2], на основании проведенных исследований было установлено, что начальная форма изгиба трубы и форма, полученная после дополнительных поперечных перемещений , аналогичны и наилучшим образом описываются следующими выражениями
,
(1.28)
,
(1.29)
где – длина волны выпучивания участка трубопровода (рис. 6).
Потенциальная энергия системы труба – грунт, складывается из потенциальной энергии деформации упругоизогнутой трубы (формула 1.10) и потенциальной энергии накапливаемой грунтом при его деформации, которая подобно сжимаемой пружине будет равна половине произведения силы на перемещение для каждого бесконечно малого элемента в соответствии с уравнениями (1.24) и (1.26)
(1.30)
Работа внешних сил совершается продольной силой только на дополнительных перемещениях и будет вычисляться аналогично формулам (1.13) и (1.14)
.
(1.31)
После подстановки в выражения (1.30) и (1.31) уравнений начального и дополнительного прогибов (1.28), (1.29) и интегрирования получается выражение для полной энергии системы трубопровод – грунт
(1.32)
Условию равновесия
этой системы соответствует равенство
нулю первой вариации полной энергии на
возможных перемещениях.
Для данной
задачи первая вариация будет равна
частной производной по дополнительной
стрелке прогиба трубопровода
,
которая полностью определяет форму
дополнительных перемещений
в соответствии с выражением (1.29)
.
(1.33)
Подробный анализ
получаемой в результате таких исследований
информации приводится в работе [2].
Наиболее важная зависимость между
полным прогибом трубопровода
и продольным усилием
качественно представлена диаграммой
на рисунке 7. На этой диаграмме полному
прогибу
соответствует
точка потери устойчивости трубопровода
второго рода, которая характеризуется
неизменностью формы прогиба и наличием
максимального продольного усилия,
которое называется критическим
.
(1.34)
Рис. 7. Диаграмма зависимости полного прогиба трубопровода
от продольного усилия