1. Теоретические положения

Момент инерции – скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения в системе СИ – кг·м², обозначение – I или J.

Различают несколько моментов инерции.

Осевым моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси a называется физическая величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

, (1)

где m_i – масса i-й точки; r_i – расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Для тела с непрерывно распределенной массой осевой момент инерции может быть определен следующей зависимостью:

, (2)

где dm = ρdV – масса малого элемента объёма тела dV; ρ – плотность; r – расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно (его плотность всюду одинакова), осевой момент инерции определяется по формуле

. (3)

Таблица 1. Моменты инерции однородных тел простейшей формы

Тело	Положение оси a	Момент инерции Ja
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиусом R и массой m	Ось цилиндра (кольца)
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R и массой m	Ось цилиндра (диска)
Конус радиусом R и массой m	Ось конуса
Шар радиусом R и массой m	Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиусом R и массой m	Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

Момент инерции всего тела сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

В данной лабораторной работе для определения момента инерции поворотного стола используют колебательную систему, состоящую из тела сложной конструкции (поворотный стол), упругих элементов (пружины) и соединительного элемента (нерастяжимая нить).

Колебательная система – система, способная совершать свободные колебания.

Колебания предоставленной самой себе системы, вызванные первоначальным кратковременным внешним возбуждением (сообщением начального запаса энергии), называются свободными или собственными.

Момент инерции поворотного стола, входящего в состав колебательной системы, определяется уравнением

, (4)

где k_пруж – коэффициент жесткости пружины (пружин); R – радиус шкива, через который переброшена нить; T – период колебаний стола.

Момент инерции ненагруженного стола может быть найден двумя методами.

При известной жесткости пружин и измеренном периоде колебаний стола по формуле 4 рассчитывается момент инерции (метод 1).

На поворотном столе размещается «эталонное тело» – два цилиндра одинаковой массы, симметрично относительно центра стола (метод 2). Момент инерции грузов определяется по формуле

, (5)

где m – масса цилиндров; r – расстояние от центра стола до точки крепления грузов; – радиус цилиндра.

Измерив период колебаний ненагруженного поворотного стола и период колебаний стола с «эталонным телом», учитывая соотношение , получим:

; (6)

; (7)

, (8)

где J – момент инерции стола с «эталонным грузом»; – момент инерции грузов; – момент инерции ненагруженного стола; Т – период колебаний стола с грузами; – период колебаний ненагруженного стола; k_пруж – уточненный коэффициент жесткости пружины (пружин); R – радиус шкива, через который переброшена нить.