Склавши почленно залежності (16.9), після перетворень дістанемо

Оскільки ліва частина цієї рівності має бути лише цілим числом, то й права частина також повинна бути цілим числом при будь-яких значеннях k. Це можливо, якщо . За цієї умови матимемо

(16.10)

де — довільне ціле число.

Рівняння (16.10) і є умовою складання для даного механізму. З цієї умови випливає, що для складання передачі необхідно, щоб сума чисел зубів центральних коліс 1 і 3 була кратною чис­лу сателітів.

Якщо ведучою ланкою є колесо 1, передаточне відношення планетарного механізму, який розглядаємо, матиме вигляд

(16.11)

де

Отже, значення передаточного відношення однієї пере­дачі завжди додатне й більше одиниці, тому колесо 1 і водило Н обертаються в одному напрямку, й передача служить для змен­шення частоти обертання вихідної ланки — водила Н — і для збільшення частоти обертання колеса 1 при веденому водилі Н. З формули (16.11) знаходимо

(16.12)

Підставивши значення в рівняння (16.8) і (16.10), відповідно матимемо

(16.13)

(16.14)

Зіставляючи рівняння (16.12), (16.13) і (16.14), дістанемо загальне рівняння для визначення чисел зубів даного планетарного механізму

(16.15)

Виходячи з раніше вказаних вимог найменших габаритів і усунення підрізання, задаємо число зубів найменшого цен­трального колеса 1 і, користуючись рівнянням (16.15), знахо­димо числа зубів решти коліс. Вибране число зубів колеса із внутрішніми зубами треба перевірити на відсутність інтерференції зубів, а всю передачу — на умову сусідства (16.6).

Лекція 17 основна теорема зубчастого зачеплення

Однією з найважливіших умов роботи зубчастого зачеплення є збереження за час контакту пари зубів заданого передаточ­ного відношення, тобто щоб початкові кола котились одне по одному без ковзання.

Необхідно встановити, яким вимогам повинні задовольняти спряжені профілі зубів, щоб забезпечи­ти цю умову.

Розглянемо пару зубчастих коліс (рис. 17.1), що перебувають у зачепленні. Нехай перше колесо є вхідним і обертається нав­коло нерухомої осі О₁ зі сталою швидкістю ω₁, а друге — вихідне, його кутова швидкість ω₂, вісь обертання — O₂. Точку контакту зубів позначимо через К, а її відстані від осей обертан­ня — відповідно R₁ і R₂. При таких параметрах швидкість точки K першого колеса і спрямована перпендикулярно до радіуса R₁; другого колеса перпендикулярна до радіуса R₂.

Розкладаємо вектори цих швидкостей на дві складові, які спрямуємо вздовж спільної нормалі N—N, проведеної до профілів зубів через точку К, і вздовж спільної дотичної t—t, що також проходить через точку К.

Рис. 17.1

Розглянемо складові швидкості точки К на спільну нормаль i встановимо зв'язок між ними. Ці складові повинні бути рівними між собою ( = ); в інших випадках, якщо > , зуб першого колеса повинен проникнути в зуб іншого колеса, що неможливо; якщо < , зуб першого колеса повинен відставати від зуба другого колеса і тим самим повинен порушуватися контакт, але цьому заважають зовнішні сили.

Отже, для забезпечення безперервного контакту пари зубів необхідно, щоб проекції швидкостей точки контакту зубів на спільну нормаль були рівні між собою.

Із подібності трикутників О₁B₁К i КК₁K₁ та О₂B₂К і КК₂К₂ складемо пропорції:

звідки:

(17.1)

Враховуючи, що в цих рівностях ліві сторони тотожні, спра­ведлива рівність:

звідки можна записати залеж­ність для передаточного відно­шення:

(17.2)

Нормаль N—N перетинає лінію центрів О₁O₂ у точці П, яка називається полюсом зубчастого зачеплення. Із подібності три­кутників О₁B₁П і О₂B₂П маємо:

(17.3)

Тоді рівняння (17.2) можна записати у вигляді:

(17.4)

Рівність (17.4) виражає зміст основної теореми зачеплення (теореми Вілліса): активні профілі зубів двох коліс повинні бути побудовані так, щоб нормаль у точці їх дотику в будь-який момент зачеплення проходила через точку П (полюс зачеплення), що ділить лінію центрів у відношенні, оберне­но пропорційному передаточному відношенню.

Відстань між точками O₁ і O₂ визначає міжосьову відстань

При змінному значенні передаточного відношення i₁₂ полюс зачеплення П займає на лінії центрів О₁О₂ змінне положення, що спостерігається в зубчастих механізмах із некруглими колесами. При сталому значенні і₁₂ полюс зачеплення завжди знаходиться в одній і тій самій точці П на лінії О₁О₂.

Якщо кутові швидкості ₁ і ₂ мають різні знаки, то і₁₂ < 0 і, полюс зачеплення П лежить між точками О₁ і О₂. Цей вид заче­плення називається зовнішнім. Якщо кутові швидкості ₁ і ₂ мають один знак, то і₁₂ > 0 і полюс зачеплення П лежить за ме­жами відрізка О₁О₂ (див. рис. 17.1). Такий вид зачеплення нази­вають внутрішнім.

Теоретично для забезпечення основної теореми зачеплення профілі зубів можна побудувати різними кривими. У техніці (особ­ливо в машинобудуванні) найбільш поширений евольвентний профіль зубів, рідше використовується циклоїдне зачеплення (здебільшого в приладобудуванні та годинниковій промисловості).