5.6. Взаимное расположение линии и точки

Точка может принадлежать линии (или линия проходит через точку). В противном случае точка не принадлежит прямой (или находится вне линии), т. е. линия не проходит через точку (рис 5.26).

Если формулировать признак принадлежности точки прямой в проекциях, то можно сказать, что точка принадлежит прямой, если все проекции прямой принадлежат соответствующим проекциям прямой:

А_i  а_i  А  а.

На рис. 5.26 показана точка А, принадлежащая прямой С.

А₁  c₁ Ù А₂  c₂ Ù А₃  c₃  А  а.

Так как для определения геометрического объекта в пространстве достаточно двух проекций, то тогда признак принадлежности точки к прямой можно сформулировать: необходимым и достаточным условием принадлежности точки прямой – принадлежность двух проекций точек к соответствующим проекциям прямой:

А_i  а_i  А  а (i = 1, 2).

Точка не принадлежит прямой, если хотя бы одна проекции точки не принадлежит соответствующей прямой. На рис. 5.26, б показана, что горизонтальная проекция точки В конкурирует с точкой А, принадлежащей прямой а, т. е. принадлежит горизонтальной проекции прямой с, однако две остальные проекции (фронтальная и профильная) не принадлежат соответствующим проекциям прямой с. Значит точка В не принадлежит прямой с (рис. 5.26, а):

В₁ с₁; В₂ с₂; В₃ с₃ В с.

а

б

Рис. 5.26

5.7. Взаимное положение прямых

Прямые линии в пространстве могут пересекаться, если имеют одну общую точку. Если две прямые линии пересекаются в бесконечности (несобственная точка), то они параллельны. Если две прямые линии не имеют общей точки, то они скрещиваются.

Н а рис. 5.28, а показано наглядное изображение двух пересекающихся прямых. Как видно из рис. 5.28, прямые с и b имеют лишь одну общую точку К, которая называется точкой пересечения.

а

б

Рис. 5.28

На рис. 5.28, б показан эпюр двух пересекающихся прямых с и b в точке К. Анализируя данный комплексный чертеж, можно сформулировать признак пересекающихся прямых: две пересекающиеся прямые имеют проекции только одной точки, принадлежащей обеим прямым:

К₁ с₁  b₁; К₂ с₂  b₂; К₃ с₃  b₃ с b.

Таким образом, две пересекающиеся прямые на комплексном чертеже имеют проекции: а) пересекающихся прямых с проекциями общей точки пересечения (рис. 5.28, фронтальная и профильная проекции); б) одна из проекций изображается как одна линия (рис. 5.28, горизонтальная проекция).

Две прямые а и b параллельны, если они пересекаются в бесконечности, т. е. имеют одну общую несобственную точку К^∞ (рис. 5.29).

Рис. 5.29

На рис. 5.30, а показано две параллельные прямые общего положения. Частный случай расположения прямых относительно плоскостей проекций, когда они располагаются в проецирующей плоскости. На рис. 5.30, б представлено наглядное изображение двух параллельных прямых а и b, расположенных в горизонтально проецирующей плоскости.

На комплексном чертеже проекции двух параллельных прямых изображаются в виде: а) параллельных проекций (рис. 5.31, б); б) параллельных проекций и одной проекции, на которой проекции конкурируют (рис. 5.30, б):

a₁ ׀׀b₁  a₂ ׀׀b₂ a ׀׀b; a₁  b₁  a₂ ׀׀b₂ a ׀׀b.

а

б

Рис. 5.30

а б

Рис. 5.31

С крещивающиеся прямые – это прямые, не имеющие общей точки. Однако их проекции могут выглядеть как пересекающиеся прямые (рис. 5.32) или параллельные (рис. 5.33). В первом случае точка пересечения является проекцией конкурирующих точек 1 и 2 (рис. 5.32).

Рис. 5.32

Р ис. 5.33

(а b) Þ (a_п ∩ b_п)  (a_п II b_п)

Н а комплексном чертеже в первом случае имеем две проекции пересекающихся в конкурирующих точках 1₂(2₂) и 3₁(4₁) (рис. 5.34, а). во втором случае – горизонтальные проекции параллельны, а на фронтальной ‑ пересекающиеся проекции в конкурирующих точка 1 и 2 (рис. 5.34, б).

а б

Рис. 5.34

Поэтому на рис. 5.34 показаны два варианта эпюр скрещивающихся прямых. Две скрещивающиеся прямые на комплексном чертеже могут изображаться в виде: а) пересекающихся проекций (рис. 5.34, а), у которых имеются две проекции конкурирующих точек (1(2) – точка 1 видимая и 3(4) – точка 3 видимая); б) одной проекции пересекающихся проекций в проекции конкурирующих точек и одной проекции в виде параллельных прямых (рис. 5.34, б).

Пример 15

Задание: через точку К провести прямую m, пересекающую прямые а и b (рис. 5.35, а).

Р ешение: прямая m должна иметь общую точку с прямыми а и b. Начинаем построение с горизонтальной плоскости проекций, так как прямая а – горизонтально проецирующая и точка пересечения (2) с прямой а будет совпадать с ее проекцией. Зная положение прямой m₁ по линиям связи точки 1₁, определяем 1₂ и строим фронтальную проекцию прямой m (рис. 5.31, б) по точкам К₂ и 1₂.

а б

Рис. 5.35

Пример 16

Задание: определить расстояние между точкой С и прямой а (рис. 5.36, а).

Решение: кратчайшее расстояние между точкой и прямой – перпендикуляр, опущенный из точки, на прямую. Угол 90 проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей (теорема о прямом угле свойство 8, п. 2.2.3).

а	б

Рис. 5.36

Прямая а – горизонталь, так ее фронтальная проекция горизонтальна (см. свойства горизонтали п. 4.5.1). Проекция перпендикуляра, опущенного из точки С₁ на прямую а₁, будет соответствовать натуральной величине угла 90 так линия а параллельна горизонтальной плоскости. Фронтальные проекции точки В определим по линии связи (рис. 5.36, б).

Воспользуемся правилом прямоугольного треугольника (п.4.4) и определим натуральную величину кратчайшего расстояния от точки С до прямой а – ICBI (рис. 5.36, б).

Пример 17

З адание: Через точку С (рис. 5.37, а) провести горизонталь h и фронталь f, пересекающие прямую а.

а б

Рис. 5.37

Решение: Две прямые пересекаются, если они имеют общую точку. Точка принадлежит прямой, если все ее проекции принадлежат соответствующим проекциям прямой (признак принадлежности точки прямой). Построение фронтали и горизонтали начинаем с той проекции, положение которой относительно осей координат известно: для горизонтали – h₂ (параллельна оси Х), для фронтали – f₁ (параллельно оси Х).

По линиям связи находим проекции точек пересечения, принадлежащие обеим прямым уровня и прямой а:: точка В для h и точка D для f (рис. 5.37, б)

Соединяем соответствующие проекции точек пересечения с проекциями точки С и получаем искомые проекции горизонтали и фронтали.

Пример 18

Задание: Провести фронталь f, пересекающую прямые m, l и отрезок АВ (рис. 5.38, а).

а б

Рис. 5.38

Положение горизонтальной проекции фронтальной прямой уровня может быть только горизонтально (п. 4.5.1). Эта проекции однозначно должна проходить через проекцию прямой l в точке 2, т.е через проекцию l₁ (рис. 5.38, б). Далее по линии связи проекции точки 1₁ находим ее фронтальную проекцию – 1₂. Положение фронтальной проекции точки 2(2₂) пока не известно. Ее определим после того как проведем фронтальную проекцию фронтали f. Для этого определим фронтальную проекцию точки 3. Ее мы определим построив подобные треугольники (задание 14). Соединяя точки 1₂ и 3₂ определяем положение точки 2₂.