6.6.2. Определение точки пересечения прямой с плоскостью способом вспомогательных геометрических объектов

Задача определения пересечения прямой с плоскостью общего положения сводится к определению точки пересечения прямой с поверхностью. Эта задача может быть решена способом посредников или способом замены плоскостей проекций, который будет рассматриваться далее.

Способ вспомогательных поверхностей для определения пересечения поверхностей или пересечения поверхностей с прямой линией состоит в том, что для определения линии пересечения поверхностей или пересечения поверхности с прямой линией необходимо ввести вспомогательную поверхность (поверхность-посредник) таким образом, чтобы проекция линии пересечения с поверхностями была простейшей (по построению) – это прямая или окружность. В качестве поверхностей-посредников можно выбрать плоскость, сферу, конус и т. д. Затем необходимо определить общие точки для пересекающихся поверхностей и поверхностей-посредников, которые будут принадлежать точкам пересечения поверхностей или прямой и поверхности.

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью в качестве поверхности-посредника выбираем проецирующую плоскость, которая пересекает плоскость по прямой линии.

На рис. 6.25 показано наглядное изображение определения точки пересечения с помощью плоскости посредника. Как видим из рисунка, в качестве плоскости посредника была выбрана горизонтально проецирующая плоскость τ, к которой принадлежит прямая l. В результате такого выбора плоскости τ горизонтальная проекция линии пересечения а этой плоскости и плоскости (АВС) и проекция прямой l совпадут.

Таким образом, дополнительную плоскость τ можно задать двумя пересекающимися прямыми: прямая l и отрезок 12 (пересечение τ (l×[12] и (АВС)). Точка пересечения К является общей точкой, принадлежащей трем геометрическим объектам: двум плоскостям τ(l×[12]), (АВС) и прямой l.

Отсюда вывод: точка К есть точка пересечения прямой l и плоскости (АВС). Однако на горизонтальной проекции определить положение искомой точки нельзя. Поэтому необходимо достроить фронтальную проекцию плоскости τ(l×[12]) или показать проекцию отрезка [12]. Определив проекцию точки пересечения проекций l и отрезка [12], можно показать горизонтальную проекцию точки пересечения (К₁).

Рис. 6.25

Рис. 6.26

Видимость участков прямой определяем по конкурирующим точкам: на горизонтальной проекции по точкам 1 и 3 по направлению взгляда, на фронтальной проекции видим сначала проекцию 1₂, а затем проекцию 3₂ (рис. 6.26, 6.27). Первая точка принадлежит стороне треугольника АС, а значит, на этом участке горизонтальная проекция прямой не будет видна. На этой проекции видимость показана как для плоской фигуры, т. е. треугольника, поэтому прямую не будет видно там, где треугольник закрывает прямую. Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций рассмотрим конкурирующие точки 5 и 4, из которых точка 5 ближе и принадлежит прямой а. Таким образом, участок на котором расположена точка 5, будет видимым. Здесь видимость проекции прямой показана как для плоскости, заданной в виде треугольника, поэтому и вне треугольника проекция прямой показана штриховой линией, которая обозначает линии невидимого контура.

Рис. 6.26

Рис. 6.27

П ример 23

Задание: определить точку пересечения прямой и плоскости (рис. 6.28)

Рис. 6.28

Решение: задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью показано на рис. 6.28. В качестве вспомогательной плоскости выбрана фронтально проецирующая плоскость τ, которая пересечет плоскость (АВС) по линии 1–2. Точкой пересечения прямой а и плоскости (АВС) будет точка К, так как она будет принадлежать обеим плоскостям и прямой.

Видимость участков прямой определяем по конкурирующим точкам. По горизонтальной проекции определяем, что точка 3, принадлежащая прямой а, будет ближе, чем точка 2, принадлежащая треугольнику АВС. Значит, на фронтальной проекции точка 3 будет видима или участок прямой 2К будет видимым. По фронтальной проекции определяем, что точка 4 будет выше точки 5, т. е. на горизонтальной проекции видимой будет точка 4, а значит и участок прямой 1К будет видимым.

В качестве посредника можно выбрать линию [12], принадлежащую плоскости (конкурирующую с одной из проекций прямой).