6.9.4. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Для того чтобы сформулировать признак перпендикулярности двух плоскостей, рассмотрим рис. 6.50. Общим признаком для всех плоскостей, перпендикулярных к плоскости , будут линии, параллельные между собой и перпендикулярные к ней. Линией пересечения двух плоскостей является прямая линия. Для плоскости А – линия а. Вторая линия – перпендикулярна к плоскости  – b. Таким образом, плоскость А можно определить при помощи двух пересекающихся прямых – А(a ´ b). Таким образом, признак перпендикулярности двух плоскостей сводится к признаку перпендикулярности прямой к плоскости (п. 5.8).

Рис. 6.50

Две плоскости перпендикулярны, если прямая линия одной плоскости перпендикулярна двум пересекающимся линиям второй плоскости.

На рис. 6.51 показаны две взаимно перпендикулярные плоскости (h  f) и (A, b), так как прямая b плоскости  перпендикулярна прямым уровня h и f второй плоскости . Отметим, что общие точки плоскостей  и  на чертеже не показаны.

Рис. 6.51

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение плоскости общего положения. Каковы способы её задания на комплексном чертеже?

2. Дайте определение плоскости частного положения и ее свойства. Каковы способы её задания?

3. Дайте определение взаимного положения точки и прямой относительно плоскости. Показать на примерах.

4. Каковы признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Покажите на примерах.

5. Каковы признаки параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Покажите на примерах.

6. Запишите алгоритм определения линии пересечения двух плоскостей.

7. Преобразование комплексного чертежа

При построении ортогональных чертежей предметов учитывается, прежде всего, требование построить более выгодное наглядное изображение предмета в целом или наглядные изображения тех элементов предмета, которые являются объектом исследования. При исследовании предмета или его отдельных элементов чертеж должен удовлетворять требованиям, связанным с решением позиционных и метрических задач. Необходимым условием упрощения решения таких задач является построение новых дополнительных проекций исходя из двух заданных. Дополнительные проекции позволяют получить либо выраженные проекции отдельных элементов, либо эти элементы в натуральную величину. Построение дополнительных проекций называют преобразованием чертежа.

7.1. Общие положения

Любое изучение предмета с точки зрения его геометрических особенностей происходит путем его осмотра следующими способами: а) с изменением направления взгляда (при неизменном положении предмета);

б) с изменением положения предмета (при неизменном направлении взгляда); в) комбинированным способом. В соответствии с первым способом преобразование комплексного чертежа выполняется путем изменения направления проецирования на дополнительные плоскости проекций при неизменном положении тела. Это способ замены плоскостей проекций. Второй способ – преобразование комплексного чертежа – требует при неизменном положении плоскостей проекций и изменения положения тела. Это способ вращения вокруг проецирующей прямой или прямой уровня и плоскопараллельного перемещения.

Необходимость преобразования комплексного чертежа способом замены плоскостей проекций продиктована тем, что при выполнении чертежей основные виды не всегда достаточно полно характеризуют геометрические особенности предмета.

Преобразование комплексного чертежа способом вращения вокруг оси проекций применяют при построении ломаных разрезов – при нескольких секущих плоскостях, непараллельных друг другу. Возникает необходимость поворота проекции вокруг проецирующей прямой и определения проекции, полученной в результате этого поворота. Таким образом получаем проекцию разреза на наклонной секущей плоскости.

Задачи, решаемые способами начертательной геометрии, можно классифицировать как позиционные и метрические. Первые касаются вопросов взаимного положения геометрических объектов (принадлежность точки прямой или плоскости, определение точки пересечения прямой и плоскости, определение линии пересечения геометрических объектов). Вторые задачи касаются вопросов, связанных с определением численных значений, характеризующих геометрические объекты (длина, углы и т. п.).

Решение указанных выше задач значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Это положения проецируемых фигур, при которых получаются проекции проецируемых фигур, удобные для решения задач: а) положение, перпендикулярное плоскости проекции, – при решении позиционных задач; б) положение, параллельное плоскости проекции, – при решении метрических задач. Преобразование комплексного чертежа помогает получить удобные проекции для решения поставленной задачи.