8.5. Определение линии пересечения многогранника с плоскостью общего положения

Линия пересечения многогранника с плоскостью общего положения определяется двумя способами: методом ребер или методом граней. Кроме того, решение задачи можно упростить, выполнив преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы секущая плоскость заняла проецирующее положение. Рассмотрим следующие задачи.

Нужно построить линию пересечения призмы с плоскостью общего положения (f ∩ h) (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Решение проводим методом ребер. Находим точки пересечения ребер с плоскостью (f ∩ h). В качестве плоскостей посредников выбираем фронтально проецирующие плоскости. Отметим, что горизонтальные проекции линий пересечения проецирующих плоскостей, проведенные через ребра 1,2 и 3, с плоскостью (f ∩ h) будут параллельны. Таким образом , задача сводится к определению точки пересечения прямой и плоскости общего положения. Ребро 1 пересечет плоскость в точке В, ребро 2 – в точке D, а ребро 3 – в точке С.

Видимость линий определяем по видимости ребер, на которых находятся точки сечения. Так [В₁С₁] и [С₁D₁] будут невидимыми, потому что проекция точки С находится на невидимом ребре. На горизонтальной проекции видно, что грань 13 находится дальше от наблюдателя. Поэтому на фронтальной проекции линия пересечения на этой грани будет не видна.

Следующая задача решается путем преобразования комплексного чертежа. Необходимо определить линию пересечения пирамиды SDEF с плоскостью общего положения (АВС) (рис. 8.11).

Рис. 8.11

Необходимо преобразовать комплексный чертеж таким образом, чтобы плоскость (АВС) стала проецирующей. Дополнительную плоскость проекций выбираем перпендикулярно плоскости проекций ₁ и стороне АВ. Последняя будет параллельна горизонтальной прямой уровня, так как ее фронтальная проекция горизонтальна. На дополнительной плоскости проекций ₄ отрезок АВ будет проецироваться в точку, а значит, АВС – в прямую линию. Проекции точек линии пересечения 1, 2 определяем способом ребер.

Проекции точек 3 и 4 определяем способом граней: находим линию пересечения двух плоскостей – заданной АВС и основания (грани) пирамиды DEF – как двух проецирующих плоскостей.

Пример 31

Задание: определить линию пересечения призмы 1234 и плоскости заданной в виде треугольника АВС (рис. 8.12)

Рис. 8.12

Решение задачи можно провести двумя способами: методом ребер и методом граней. Давайте рассмотрим два метода

Метод граней, т. е. будем находить линии пересечения грани и плоскости (рис. 8.12) так как грани являются горизонтально проецирующими, поэтому линия пересечения определена на горизонтальной плоскости проекции: естественно она лежит на поверхности призмы, т. е. на четырехугольнике 1₁2₁3₁4₁ (на чертеже красная линия). если плоскость пересечет основании призмы, то тогда эта линия будет проходить по основанию призмы, что определиться в ходе решения задачи.

Таким образом задача сводится к определению фронтальной проекции линии пересечения. Для ребра 12 линия определится по двум точкам 5 и 6. Точка 5 лежит на стороне треугольника АС, а точка 6 на стороне АВ. Определяем их положения по горизонтальной проекции, а затем по линиям связи на фронтальной проекции. Соединяя точки 5₂ и 6₂ получаем отрезок D₂E₂. По точкам 7 и 8 определяем линию пересечения на грани 14. Для того чтобы определить линию пересечения с гранью 23 необходимо продлить ее горизонтальную проекцию до пересечения с СВ (синея линия). отметим, что отрезок линии 11₂F₂ не принадлежит призме. Аналогично определяем линию пересечения с гранью 34. По фронтальной проекции видим что плоскость пересекает призму по точкам GH. По линиям связи определяем положение их горизонтальных проекций.

Решение методом ребер. Находим точки пересечения каждого ребра с плоскостью (АВС) (рис. 8.14). На ребре 1 располагается точка D (построение показано голубым цветом). На горизонтальной проекции видно, что ее проекция совпадает с проекцией ребра 1. Так как точка D принадлежит плоскости (АВС), то проводим линию а, проходящую через точку D₁ и А₁. Далее находим фронтальную проекцию линии а по точке 5₂, проведя линию связи 5₁-5₂. На пересечении линий а₂ и 1₂ отмечаем точку D₂. Для ребра 2 на горизонтальной проекции показываем линию d₁ (построения показываем зеленым цветом), которая проходит через точку С₁ и ребро 2₁. На этой линии располагается проекция токи Е₁. По линии связи находим ее фронтальную проекцию на проекции линии d₂. произведя подобные построения для остальных ребер находим положение точек F и К. Причем точка К находится ниже основания призмы, что говорит о том, что плоскость S(DАВС) пересекает основание (см. рис. 8.14). Соединяем найденные точки пересечения (красная линия) и показываем фронтальную проекцию линии пересечения призмы и S(DАВС).

Рис. 8.14

По горизонтальной проекции определяем, что грань призмы 14 находится дальше от наблюдателя, значит на фронтальной проекции она не будет видна, соответственно не видны будут все линии, расположенные не ней. Значит линия пересечения D₂G₂ так же будет не видна.

\

Рис. 8.14