10.3. Теорема Монжа

Теорема Монжа вытекает из того положения, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. В частности кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямые линии или две кривые второго порядка. Как следствие этого утверждения, можно сформулировать теорему Монжа.

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 10.12).

Как видно из рис. 10.12 и 10.13, а, две поверхности :– тор и конус теперь пересеклись по двум плоским линиям, пересекающимся в двух точках (одна видима, другая нет).

Рис. 10.12

Д ля построения линии пересечения нам достаточно посмотреть на расположение плоскости, в которой располагается линия по отношению к одной из фигур (тора или конуса), так как построение линии пересечения конуса и плоскости нам известно. В данном случае плоскость пересекает конус, образуя эллипс (рис. 10.13, б). Далее остается построить эллипс по известным методикам.

Рис. 10.13, а

Р ис. .10.13, б

Пример 37

З адание: определить линию пересечения конусов, показанных на рис. 10.14

Рис. 10.14

Решение:сечения двух конусов. Сфера γ вписана в конические поверхности α и β (ррис. 10.15)

П оверхность  соприкасается со сферой  по окружности, проходящей через точки 1 и 2, а с поверхностью  – по окружности, проходящей через точки 3 и 4. Точки пересечения этих окружностей E и F являются точками соприкасания поверхностей  и .

Рис. 10.15

Показанные на рис. 10.15 конические поверхности  и  пересекаются по двум плоским кривым: AB – эллипс, CD – часть эллипса GD. Точка G (большой оси эллипса) находится на пересечении главных меридианов конусов  и .

Вопросы для самопроверки

1. Укажите алгоритм построения линии пересечения поверхностей

вращения.

2. Опишите способы секущих плоскостей и сферических посредников при определении линии пересечения поверхностей.

3. Сформулируйте теорему Монжа.

11. Развертки поверхностей

Многие детали и другие технические конструкции изготовляют из гнутого листового материала. В качестве заготовок для их изготовления применяют развертки поверхностей. Построение разверток изделий и изделий по разверткам – важная техническая задача.

11.1. Основные понятия

Под разверткой поверхности следует понимать гибкую, нерастяжимую пленку. Если развертываемая поверхность может быть совмещена с плоскостью без разрывов его отсеков, то такую поверхность называют развертывающейся, а поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью, называются неразвертывающейся поверхностью.

На рис. 11.1, а показана развертываемая поверхность куба и ее развертка. Линия сгиба обозначена штрихпунктирной линией с двумя пунктирами.

Изображение развертываемой конической поверхности показано на рис. 11.1, а и на рис. 11.1, б ее развертка. Очевидно, что длина окружности основания конуса будет равна длине дуги развертки сектора конической поверхности.

Сфера (рис. 11.2, а) имеет поверхность, которая не может быть совмещена с плоскостью без разрывов. В зависимости от степени точности она может быть разбита на различные по форме и количеству сегменты соответственно и различных размеров. В качестве примера на рис. 11.2, б приведена развертка, состоящая из 6 сегментов, на рис. 11.2, в – из 12, а на рис.11.2, г – из 18.

Таким образом, увеличивая количество сегментов, мы приближаем поверхность к идеальной форме. Такая развертка будет называться условной разверткой.

К группе развертывающихся поверхностей относятся только линейчатые поверхности и, в частности, те из них, которые имеют пересекающиеся смежные образующие, причем точка пересечения может как находиться в бесконечности (несобственная точка – цилиндрическая поверхность), так и не находиться в ней (собственная тока – конические поверхности).