2. Решения задач

2.1. Расчет режима электрической сети (линейная модель)

Рис. 1.1 Граф электрической сети

(номера ветвей обведены кружками)

Формулировка задачи.

Определить напряжения в узлах и токи в ветвях расчетной схемы электрической сети, рис. 1.1, условно постоянного тока для случая представления заданной нагрузки в виде узловых токов.

Математическая модель

Режим сети условно постоянного тока описывается линейными уравнениями узловых напряжений (УУН) с вещественными переменными. Полагая, что базисный и балансирующий узлы совмещены, в матричной форме имеем систему n уравнений по числу независимых узлов сети:

где Y - матрица узловых проводимостей;

U - матрица-столбец узловых напряжений;

Y₀ - матрица столбец проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом;

U₀ - напряжение базисного узла;

J - матрица-столбец задающих токов узлов.

Матрица узловых проводимостей определяется через проводимости ветвей и матрицу инциденций M.

где Y_В - диагональная матрица проводимостей ветвей схемы сети.

2.2. Расчет режима электрической сети (нелинейная модель)

Формулировка задачи.

Определить напряжения в узлах и потоки мощности в ветвях расчетной схемы электрической сети, рис. 2.1, при заданных мощностях нагрузок в узлах сети.

Математическая модель.

Режим сети переменного тока при заданных узловых мощностях описывается нелинейными уравнениями установившегося режима (УУР) с комплексными переменными. Полагая, что базисный и балансирующий узлы совмещены, для i-го независимого узла сети:

где Y_ij - элемент матрицы узловых проводимостей;

U_i - напряжение i-го узла;

Y_0i - i-ый элемент матрицы-столбца проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом;

U₀ - напряжение базисного узла;

S_i- мощность в узле S_i = -S_нi - противоположна по знаку мощности нагрузки;

* - отмечает операцию сопряжения комплексной переменной.

В матрицу узловых проводимостей помимо проводимостей продольных ветвей для диагональных элементов включены также емкостные проводимости поперечных ветвей П-образных схем замещения ЛЭП.

2.3. Исследование корней уравнений установившегося режима

Формулировка задачи.

Исследовать поведение корней нелинейных уравнений установившегося режима для ЛЭП с распределенными параметрами в зависимости от длины линии и передаваемой мощности.

Математическая модель.

Уравнение, описывающее режим работы ЛЭП, может быть получено следующим образом.

Из уравнений линии для токов и напряжений [5, с. 117] имеем:

и ток в конце линии

Исключив ток I₂, получим уравнение

где

Найдем аналитическое решение этого уравнения относительно напряжения U₂ при следующих условиях и допущениях:

• вектор напряжения U₁ совмещен с вещественной осью и его величина задана;

• потери в линии отсутствуют: r₀ = 0, g₀ = 0 (идеальная линия).

С учетом

и

получим уравнение

или

Разделяя это уравнение на вещественную и мнимую составляющие, получаем систему из двух уравнений с вещественными переменными

Выразим из второго уравнения

и подставим это выражение в первое уравнение, тогда

или

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно U'₂. Решение этого уравнения дает два корня:

Приравнивая дискриминант этого выражения нулю, получим уравнение для предельного (критического) значения передаваемой мощности по ЛЭП из условия существования режима:

откуда, обозначая P₂ = P_кр,

При Q₂ = 0 имеем

Важно отметить, что это выражение получено при условии, когда со стороны нагрузки (конца линии) не осуществляется никаких действий по регулированию режима напряжения ни по величине, ни по фазе (сопоставьте данное выражение с формулой для предела передаваемой мощности по ЛЭП переменного тока).