1.11. Использование размерностей физических величин

Использование размерностей для физических величин дает возможность вывода значений переменных с указанием их размерностей и контроля совместимости размерностей величин.

По умолчанию в MathCAD установлена система единиц физических величин MKS. В качестве основных величин этой системы установлены: единица длины  1 метр (m), единица массы  1 килограмм (kg), единица времени  1 секунда (sec) и единица заряда  1 кулон (coul).

Перечень производных физических единиц в международном обозначении и используемых в MathCAD можно найти в справочной системе MathCAD.

1.12. Описание зависимостей

Здесь рассматриваются три способа описания зависимостей:

Линейная регрессия. Нахождение линейной функции (прямой линии), наилучшим (в смысле наименьших квадратов) образом отражающей зависимость, представленную точками (значениями) данных.

Линейная комбинация функций. Нахождение коэффициентов, которые делают линейную комбинацию функций наилучшим образом подходящей для точек (значений) данных.

Описание данных с помощью произвольных функций. Нахождение параметров, которые делают некоторую функцию наилучшим образом подходящей для точек (значений) данных.

Множественная линейная регрессия. Нахождение многомерной линейной функции (плоскости), наилучшим (в смысле наименьших квадратов) образом отражающей зависимость, представленную точками (значениями) данных.

Линейная регрессия является функцией вида: y = ax + b.

Коэффициент регрессии a, отражающий наклон прямой линии к оси абцисс, находится с помощью функции:

slope(vx,vy), а свободный член b - с помощью функции:

intercept(vx,vy),

где vx - вектор вещественных данных, расположенных в возрастающем порядке и соответствующих значениям x;

vy - вектор вещественных данных, расположенных в возрастающем порядке и соответствующих значениям y.

Число элементов векторов vx и vy должно быть одинаковым.

Пример вычисления коэффициентов линейной регрессии.

ORIGIN := 1 n := 5 i := 1 .. n X := 0 .. 12

Чтение данных из файлов date_x.dat и date_y.dat:

x_i := READ(date_x)

y_i := READ(date_y)

a := slope(x,y)

a = 0.474

b := intercept(x,y)

b = 2.324

Уравнение линейной регрессии:

Y(X) := aX + b

Множественная линейная регрессия. Имеются N опытных данных; цель состоит в нахождении многомерной линейной функции, которая наилучшим образом отражает зависимость, представленную данными:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_kx_k.

Для вычисления коэффициентов множественной линейной регрессии необходимо:

• поместить значения зависимой переменной в N-мерный вектор Y;

• поместить значения независимых переменных в матрицу X, размерностью N(k + 1); первая колонка X должна состоять из единиц;

• коэффициенты линейной регрессии в виде вектора b определяются из выражения:

b := (X^T X)^-1 X^T Y.

Пример вычисления коэффициентов множественной линейной регрессии.

X := READPRN(x_4_5) Ввод значений x из файла x_4_5.prn

Y := READPRN(y_5) Ввод значений y из файла y_5.prn

b := (x^Tx)^-1x^Ty

Вычисление коэффициентов

множественной линейной регрессии