2.8. Проверка статической устойчивости системы автоматического регулирования

Формулировка задачи.

Проверить статическую устойчивость системы автоматического регулирования возбуждения сильного действия генераторов электрической станции при заданных настроечных параметрах (Пример 2.13: Веников В. А., Литкенс И. В. Математические основы теории автоматического управления режимами электросистем. - М.: Высшая школа, 1964).

Характеристическое уравнение такой системы имеет пятый порядок

Выполнить проверку устойчивости по критериям Гурвица, Рауса и Михайлова.

Математическая модель.

Необходимое условие устойчивости системы, описываемой дифференциальными уравнениями порядка n, состоит в неотрицательности всех коэффициентов характеристического уравнения

т. е. a_i  0, i = 0, 1,...,n.

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является расположение корней характеристического уравнения в левой комплексной полуплоскости, т. е. действительные части всех комплексных корней являются отрицательными.

Если удается получить все корни характеристического уравнения, то по знаку вещественных частей корней можно выяснить устойчива система или нет.

Критериями устойчивости без нахождения корней характеристического уравнения являются алгебраические критерии Гурвица и Рауса и частотные критерии Михайлова и Найквиста, а также некоторые другие.

Критерий Гурвица.

Из коэффициентов многочлена D(p) составляют таблицу (квадратную матрицу порядка n) Гурвица по следующему правилу:

· по главной диагонали последовательно располагают, начиная с a₁, n коэффициентов характеристического уравнения;

· начиная с диагонали, столбцы этой матрицы заполняют коэффициентами вверх по возрастающим, а вниз по убывающим индексам, причем все коэффициенты с индексами больше n и меньше 0 заменяются нулями.

Из матрицы Гурвица составляют n определителей ₁, ₂,...,_n (определителей Гурвица). Определитель Гурвица k-го порядка получается отчеркиванием k-го столбца и k-ой строки

По Гурвицу система будет устойчива, если все определители ₁, ₂,...,_n положительны.

Критерий Рауса.

Из коэффициентов характеристического уравнения D(p) составляется таблица (прямоугольная матрица с n + 1 числом строк) Рауса по следующему правилу:

• элементами первой строки (C_1,j, j = 1,2,...) являются все коэффициенты с четными индексами, а элементами второй строки (C_2,j, j = 1,2,...) - с нечетными индексами;

• элементы последующих строк получают перекрестным умножением элементов предыдущих строк с последующим делением на первый элемент предыдущей строки

i = 3,...,n + 1; j = 1,2,...

По Раусу для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца были положительны

Критерий Михайлова.

Согласно этому критерию, для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента вектора D(j) на комплексной плоскости при изменении  от - до + было равно n.

При представлении вектора D(j) в виде D(j) = U() + jV() критерий Михайлова переформулируется следующим образом.

Для обеспечения устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

• U(0) = a_n > 0;

• V'(0) = a_{n - 1} > 0;

• все корни уравнений U() = 0 и V() действительные и перемежающиеся, т. е. между любыми двумя соседними корнями уравнения V() = 0 лежит один корень уравнения U() = 0.