- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
6.7 Эластичность функций
Одна из важнейших задач любого бизнеса – установление связи между изменениями цены на реализованную продукцию и доходом. Если фирма повышает цену на единицу продукции, это уменьшает объем продаж. Интуитивно понятно, что здесь важны не абсолютные изменения цены и количества продукции, а относительные, или, как говорят, процентные (есть разница - повысить цену на 1 руб., если исходная цена была 1000 руб. и если она была 1 руб.!). Для характеристики этих взаимоизменений в экономике вводится такое понятие как эластичность.
Если кривая спроса – это функция , где Р- цена единицы продукции, а Q – ее количество, то эластичность спроса от цены определяется как отношение:
= . Сокращая общий множитель 100%, окончательно получаем . Вычисленная таким образом эластичность, называется дуговой эластичностью, т.е. средней на соответствующем участке кривой спроса
Переходя, как обычно, к пределу при , мы получаем выражение для точечной эластичности.
.
Эластичность спроса по цене, в данном случае, отражает, насколько процентов изменится спрос, если цена на товар изменится на 1%,и часто обозначается .
Поскольку, кривая спроса – функция убывающая, то , и в исследованиях, эластичность спроса от цены обычно берется по модулю, т.е. рассматривается ее положительное значение.
В зависимости от численных значений модуля эластичности спроса по цене различают товары эластичного и неэластичного спроса. В первом случае – эластичный спрос - повышению цены на 1% соответствует понижение спроса более чем на 1%, а понижение цены на 1% приводит к росту покупок более чем на 1%, модуль эластичности . Во-втором случае – неэластичный спрос – повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, а уменьшение цены на 1% приводит к росту покупок менее чем на 1% , модуль эластичности .
Аналогично вводятся эластичности других экономических функций.
Пример. Найти эластичность спроса по цене при Р=2, если функция спроса имеет вид .
Решение. Ищем производную от функции , .
Тогда эластичность спроса по цене равна . При Р=2 получаем . Это означает, что если цена возрастет на 1%, то спрос на товар уменьшится на 0,15%, то есть спрос неэластичный.
7. Функции нескольких переменных
7.1. Основные определения.
Во многих практических задачах изучаемая величина зависит от многих факторов, принимающих некоторые числовые значения, которые, в общем случае, можно обозначить . Задачи подобного рода наталкивают на мысль об изучении функций, зависящих от нескольких переменных.
Определение. Если задан закон, по которому каждому упорядоченному набору чисел из некоторого множества Х ставится в соответствие единственное действительное число , то говорят, что на множестве Х задана функция переменных, при этом пишут: .
. Множество Х называется областью определения функции , а множество значений .
Если числа считать координатами некоторой точки , то функция нескольких переменных будет функцией этой точки и записывается . Такая обобщенная запись позволяет изучать свойства функций независимо от количества переменных. Более того, основные свойства функции двух переменных, как наиболее простой аналитически и геометрически, естественным образом распространить на функции большего количества переменных. Поэтому далее мы будем рассматривать, в основном, функции двух и трех переменных.
Наиболее наглядна интерпретация функции для случая двух переменных. В этом случае - точка плоскости, и в соответствии с общепринятыми обозначениями, функция записывается в виде (в случае трех переменных - ). Областью определения функции , является некоторое множество точек плоскости; для функции трех переменных – множество точек пространства. Например, областью определения функции будет множество точек координаты которых удовлетворяют неравенству . Достаточно легко определить, что это первая и третья координатные четверти, включая оси координат.
Важной геометрической характеристикой функций двух и трех переменных являются линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости в которых эта функция принимает одно и тоже значение, уравнение линий уровня , где . Аналогично, уравнение поверхностей уровня .