- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
7.2. Предел и непрерывность
Определение. - окрестностью точки называется множество точек координаты которых удовлетворяют неравенству
.
Для плоскости это будет внутренность круга радиуса , а для пространства – внутренность шара радиуса с центром в точке .
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого существует >0, такое что для всех точек , принадлежащих - окрестности точки , (кроме быть может самой точки ) выполняется неравенство .
В этом случае пишут .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, включая саму точку , и
.
7.3. Частные производные функции нескольких переменных
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Дадим переменной произвольное приращение , оставляя переменную без изменения, тогда функция получит приращение
Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется предел отношения приращения к вызвавшему его приращению аргумента, когда .
Для частных производных используется ряд эквивалентных обозначений: Аналогично вводится понятие частной производной по переменной . Итак,
; .
Таким образом, частная производная – это известная нам производная по одной из переменных, в предположении, что остальные переменные фиксированы (постоянны). Такой подход к частным производным позволяет нам без труда находить любую частную производную, используя известные нам правила дифференцирования функций одной переменной.
Пример 1. Вычислить частные производные функции
Решение. - при вычислении считали постоянной величиной и использовали правила: а) константа выносится за знак производной - б) производная константы равна нулю.
Аналогично получаем .
Пример 2. Вычислить частные производные функции .
Решение.
Пример 3. Вычислить частные производные функции .
Решение.
7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
Полным приращением функции в точке называется величина . Если полное приращение можно представить, в некоторой достаточно малой окрестности точки , в виде
,
то функция называется дифференцируемой в точке , а линейную часть приращения называют полным дифференциалом и записывают в виде:
.
Для функций нескольких переменных такое представление возможно, если частные производные функции непрерывны в некоторой окрестности точки .
Если функция зависит от переменных , то дифференциал имеет аналогичный вид:
.
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. Найдем частные производные:
Тогда дифференциал функции равен:
7.5. Частные производные второго порядка
Частные производные и функции сами являются функциями двух переменных определенных в точках некоторого множества, и можно поставить вопрос о нахождении частных производных по переменным и от этих функций, которые называются частными производными второго порядка.
- частная производная второго порядка по .
- смешанная частная производная по .
- смешанная частная производная по .
- частная производная второго порядка по .
Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков.
Пример. Найти частные производные второго порядка для функции .
Решение. Вычисляем частные производные и . Тогда , .
Замечание. В приведенном примере, совпадение смешанных частных производных не случайно. Можно доказать, что для всех функций с непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а это все практически интересные функции, выполняется равенство .