2.5. Однородные системы линейных уравнений
Если в каждом
уравнении системы
линейных уравнений с
неизвестными свободный член равен нулю,
то такая
система называется однородной.
В матричной форме
.
Однородные системы часто встречаются в приложениях и обладают рядом свойств, присущих только им.
Однородная система
всегда имеет нулевое или, так называемое,
тривиальное
решение
.
Однородная система
уравнений с
неизвестными
имеет нетривиальные решения только в
том случае, когда ранг матрицы системы
меньше числа неизвестных системы,
.
Если в однородной
системе число уравнений равно числу
неизвестных
,
то система имеет нетривиальные решения
тогда и только тогда, когда
-
определитель системы равен нулю.
3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
3.1. Векторы
В средней школе мы изучали векторы как геометрические объекты – направленные отрезки. В декартовой прямоугольной системе координат каждый вектор задается двумя координатами на плоскости и тремя в пространстве. Обобщая понятие вектора на четыре, пять и более координат, введем следующие определения.
Определение 1.
Вектором
или n-мерным вектором
назовем упорядоченное множество n
действительных чисел
.
Числа
называются координатами
вектора, число n
– размерностью.
Определение 2.
Суммой
двух векторов
и
назовем вектор
=
.
Определение 3.
Произведением вектора
на число
назовем вектор
.
Легко видеть, что
введенные таким образом операции
сложения и умножения на число, для любых
векторов
и
произвольных чисел α, β,
обладают следующими восемью свойствами:
1
(коммутативность);
2.
(ассоциативность);
3.
–
нулевой вектор;
4.
(
)
– противоположный
вектор;
5.
;
В математике, множество элементов на котором введены две операции – операция сложения и операция умножения на число, удовлетворяющие перечисленным восьми аксиомам, называется линейным пространством. Указанное множество может состоять из элементов различной математической природы. Это, например, может быть множество квадратных матриц одного размера, множество непрерывных на отрезке [а,в] функций, множество многочленов степени не выше заданного n и т.п.. В рассматриваемом нами случае , множество n-мерных векторов, с определенными операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющими, перечисленным выше, восьми аксиомам называется n-мерным векторным пространством Rn.
Кроме введенных
двух операций, для векторов n-мерного
векторного пространства можно ввести
еще одну – операцию
скалярного умножения. Скалярное
произведение двух
векторов (обозначается
или просто
)
есть число равное
.
Отметим важнейшие формулы и понятия, связанные со скалярным произведением.
1. Модуль вектора есть корень квадратный из скалярного квадрата, т.е.
.
2. Угол
φ между двумя
векторами
и
определяется формулой:
3. Два
ненулевых вектора перпендикулярны,
если их скалярное произведение равно
нулю,
т.е.
.
Пример.
Вычислить
Решение.
.
Тогда, скалярное произведение
.
Квадрат модуля
.
Окончательно
получаем
