- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
7.6. Производная по направлению и градиент
Частные производные функции нескольких переменных, по своему смыслу, характеризуют скорость изменения функции по направлениям осей координат. Вполне естественно выяснить с какой скоростью изменяется функция в данной точке в фиксированном направлении, задаваемом вектором . Ответ на этот вопрос дает понятие производной в точке по направлению вектора . Опуская точное определение такой производной, которая естественно является пределом отношения приращения функции к приращению аргумента, вычисленному в заданном направлении, приведем формулы для её вычисления.
Для дифференцируемой функции трех переменных , производная в направлении вектора :
, где - направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам , , и являются координатами единичного вектора того же направления: .
Для дифференцируемой функции двух переменных формулы аналогичны, только будет отсутствовать третья координата.
Определение. Градиентом функции называется вектор , координаты которого равны соответственно частным производным и в точке , то есть .
Для функции трех переменных имеем .
Используя определение градиента, формулы для вычисления производной по направлению можно записать в виде скалярного произведения двух векторов:
или
Из этих формул, с учетом определения скалярного произведения, , следуют основные свойства градиента:
градиент это вектор, направленный в сторону максимального роста функции , то есть производная по направлению в данной точке принимает максимальное значение в направлении её градиента в этой точке;
модуль градиента равен максимальной производной по направлению.
градиент перпендикулярен линии (поверхности) уровня функции;
Пример 1. Найти градиент функции и его модуль в точке , и вычислить производную по направлению вектора .
Решение.1)Вычисляем . Подставляя координаты точки , получим . Модуль, полученного вектора .
2) Вычисляем единичный вектор заданного направления . Производная по направлению равна = .
Пример 2. Найти вектор нормальный к линиям уровня функции .
Решение. Поскольку градиент функции перпендикулярен линиям уровня этой функции в произвольной точке, получим , значит, вектор - нормальный вектор к линиям уровня , которые образовывают множество параллельных прямых, перпендикулярных вектору .
7.7. Экстремум функции двух переменных
Определение. Точка является точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности ( ).
Максимум или минимум, как и ранее, называют экстремумом. Далее, в силу простоты и наглядности, исследование на экстремум проведем для функций двух переменных , тем более, что идеи и последовательность действий такие же, как и для функции одной переменной.
Прежде всего, находим стационарные точки, то есть точки в которых обращаются в нуль обе частные производные – необходимое условие экстремума, то есть решаем систему уравнений:
Пусть, например, точка является решением этой системы, то есть – стационарная точка. Для того, чтобы выяснить будет ли в этой точке экстремум, используем следующие достаточные условия существования экстремума в стационарной точке.
1) Находим частные производные второго порядка исследуемой функции и вычисляем их значения в точке , обозначая:
; ; .
2) Составим определитель
.
3) Если , то в точке будет экстремум:
максимум, если
минимум, если
4) Если , то в точке нет экстремума.
5) Если , то требуется дальнейшее исследование.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
Решение. 1) Ищем стационарные точки:
Из второго уравнения системы получим , подставляя это значение в первое уравнение, после очевидных вычислений имеем . Таким образом далее предстоит исследовать единственную стационарную точку .
2) Находим производные второго порядка данной функции:
; ; .
3) Вычисляем значения вторых производных в стационарной точке:
; ; .
4) Составляем определитель
, т.к. , то в точке есть экстремум, а так как , это минимум.
5) Находим .
Замечание. Исследование на наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных непрерывной в замкнутой ограниченной области подобно исследованию функции одной переменной на замкнутом промежутке . Сначала ищутся критические точки внутри области и вычисляются значения функции в этих критических точках. Затем находят наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. И в заключение, из всех полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее, которые и являются решением задачи.