- •Занятие 1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •1. Определить точку n, с которой совпадает конец вектора если его
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
Домашнее задание
1. Определить точку n, с которой совпадает конец вектора если его
начало совпадает с точкой М (1, 2,- 3).
2. Вектор составляет с осями координат острые углы при и . Найти его координаты, если .
3. Векторы образуют угол , причем . Определить .
4. Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .
5. Три силы , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что .
6. Найти орт вектора .
7. Векторы совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.
8. Даны вершины треугольника: . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
9. Зная векторы, служащие сторонами треугольника , найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.
10. На плоскости даны четыре точки: . Определить разложение векторов , принимая в качестве базиса векторы .
11. Даны три вектора: . Найти разложение вектора по базису .
Ответы к задачам
4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. 22. 10. .
11. .
13. . 14. . 16. .
Ответы к домашнему заданию
1. . 2. . 3. .
5. . 6. . 7. .
8. .
9. ,
где имеют направление внутренних углов А, В и С имеют направления биссектрис одноименных внешних углов треугольника.
10. . 11. .
З анятие 2
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется число ; .
Свойства скалярного произведения:
1) (переместительное);
2) (сочетательное относительно числового множителя);
3) (распределительное относительно суммы векторов).
Если , то , .
Условие перпендикулярности векторов : .
Длина вектора : .
Физический смысл скалярного поизведения: если вектор представляет силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством .
Примеры решения задач
Задача 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где таковы, что .
Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы и . Вычислим длину вектора : .
Аналогично вычисляется длина вектора .
Задача 2. Найдите вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
Решение. Обозначим вектор , тогда из условий задачи
или ,
тогда . Итак: .
Задача 3. Найти проекцию вектора на направление вектора .
Решение. . По формуле проекции вектора на ось будет иметь место равенство
.
Задача 4. Даны векторы: .
П роверить, есть ли среди них коллинеарные. Найти .
Решение. Условие коллинеарности имеет вид . Этому условию удовлетворяют векторы . Следовательно, они коллинеарны. Найдем длины
векторов : .
Угол между векторами определяется по формуле .
Т огда , .
Используя формулу , получим .
Задача 5. На материальную точку действуют силы . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения в положение .
Решение. Найдем силу и вектор перемещения . , тогда искомая работа .
Задачи
1. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы . Зная, что , найти: 1) ; 2) .
2. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если известно, что .
3. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
4. Зная, что , определить, при каком значении коэффициента векторы окажутся перпендикулярными.
5. Даны вершины четырехугольника: . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
6. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .
7. Даны силы . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку .
8. Даны вершины треугольника: . Найти проекцию вектора на вектор .
9. Найти вектор , перпендикулярный векторам , если известно, что его проекция на вектор равна единице.
10. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .
11. Даны вершины треугольника: . Найти его внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине В.
12. Даны три последовательные вершины параллелограмма: . Найти его четвертую вершину D и угол между векторами .
13. На оси найти точку, равноудаленную от точек .
14. Доказать, что треугольник с вершинами прямоугольный.