Задача 6
1. Треугольник
АВС – равнобедренный,
-
высота,
- единичный вектор в направлении АС.
Найти скалярные произведения
.
2. Длины векторов
равны соответственно 8 и 9, а угол между
ними
.
Найти скалярные квадраты векторов и их
скалярное произведение.
3. Найти длину вектора , зная, что - взаимно перпендикулярные орты.
4. Упростить
выражение
,
если
,
,
где
.
5. Векторы
образуют угол
.
Зная, что
,
,
вычислить
.
6. Векторы
образуют угол
.
Зная, что
,
вычислить
.
7. Дан равносторонний
треугольник АВС, длина сторон которого
равна единице. Вычислить выражение
.
8. В прямоугольном
равнобедренном треугольнике АВС катет
равен 5 см. Найти скалярное произведение
.
9. Даны точки
.
Вычислить
.
10. Векторы
взаимно перпендикулярны, а вектор
образует с ними углы, равные
.
Зная, что
,
найти
.
11. Вычислить
значение выражения
,
если
.
12. Векторы
взаимно перпендикулярны; вектор
образует с ними углы, равные
.
Зная, что
,
вычислить
.
13.Векторы
,
попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен
.
Зная, что
,
определитель модуля вектора
.
14. Найти модуль
вектора
-
единичные векторы, угол между которыми
равен
.
15. Векторы
взаимно перпендикулярны, а вектор
образует с ними углы, равные
.
Зная, что
,
найти
.
16. Даны векторы
,
удовлетворяющие условию
.
Зная, что
вычислить
.
17. В равнобедренном
треугольнике АВС
-
высота. Найти скалярное произведение
.
18. Векторы
образуют угол
.
Зная, что
вычислить
.
19. Треугольник
АВС – равносторонний, со стороной,
равной шести. BD
- высота. Найти скалярные произведения
.
20. Векторы
образуют угол
.
Зная, что
,
найти длину вектора
.
21. Даны:
.
Вычислить
.
22. Даны три
вектора:
.
Найти:
.
23.
-правильный
шестиугольник со стороной, равной
четырем. Найти
.
24. В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС проведены медианы AN и BM из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.
25. Даны три
вектора:
.
Найти
.
26. Даны точки А(2, 2) и В(5, -2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы
.
27. Вычислить
,
если
и
.
28. Известно, что
,
где
- взаимно перпендикулярные орты.
Определить углы треугольника АВС.
29. Найти угол,
образованный единичными векторами
,
если известно, что векторы
перпендикулярны.
30. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.
Задача 7
1. Даны вершины
треугольника
.
Вычислить высоту, опущенную из вершины
В на сторону АС.
2. Даны точки
.
Вычислить площадь треугольника АВС.
3. Найти площадь
параллелограмма, диагоналями которого
служат векторы
,
где
-
единичные векторы, образующие угол
.
4. Вычислить
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
,
где
- взаимно перпендикулярные орты.
5. Построить
векторы
.
Вычислить модули вектора
и площадь треугольника, построенного
на векторах
.
6. Вычислить
диагонали и площадь параллелограмма,
построенного на векторах
.
7. Построить
треугольник с вершинами
.
Вычислить его площадь и высоту BD.
8. Даны
.
Вычислить
.
9. Сила
приложена к точке
.
Определить величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно
точки
.
10. Вычислить
площадь треугольника с вершинами
.
11. Векторы
образуют угол
.
Зная, что
,
вычислить
а)
;
б)
.
12. Векторы
взаимно перпендикулярны. Зная, что
вычислить:
а)
;
б)
.
13. Даны три силы
,
приложенные к точке
.
Найти момент равнодействующей этих сил
относительно точки
.
14. Найти площадь параллелограмма и его высоту, если известно, что диагоналя-
ми параллелограмма
служат векторы
где
.
15. Найти площадь
треугольника, построенного на векторах
,
,
где
.
16. Найти высоту
треугольника, построенного на векторах
и
,
где
.
17. Вычислить
,
если
,
.
18. Найти площадь и высоту треугольника, построенного на векторах
,
где
.
19. Вычислить
площадь и высоту параллелограмма, если
его диагоналями служат векторы
,
где
.
20. Векторы
взаимно перпендикулярны, а вектор
образует с ними углы, равные
.
Зная, что
,
найти
.
21. Вычислить
момент равнодействующей двух сил
и
,
приложенных к точке
,
относительно начала координат.
22. Даны точки
.
Найти координаты векторного произведения
.
23. Сила
приложена к точке
.
Найти величину и направляющие косинусы
момента этой силы относительно начала
координат.
24. Сила
приложена к точке
.
Найти величину и направляющие косинусы
момента этой силы относительно точки
.
25. Зная две стороны
треугольника
,
вычислить длину его высоту
при условии, что
и
-
взаимно перпендикулярные орты.
26. Вычислить
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
,
где
.
27. Зная две стороны
треугольника
,
вычислить длину его высоты
при условии, что
- перпендикулярные друг другу орты.
28. Вычислить
синус угла между диагоналями
параллелограмма, построенного на данных
векторах:
,
где
-
взаимно перпендикулярные орты.
29. Даны силы:
,
приложенные к точке
.
Определить величину и направляющие
косинусы момента равнодействующей этих
сил относительно точки
.
30. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы
,
где
-
единичные векторы и
.