- •Занятие 1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •1. Определить точку n, с которой совпадает конец вектора если его
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
Домашнее задание
1. Вычислить скалярное произведение двух векторов , зная их разложение по трем единичным взаимно перпендикулярным векторам
; .
2. Найти длину вектора , зная, что – взаимно перпендику-
лярные орты.
3. Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен . Зная, что , определить модуль вектора .
4. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
5. Даны векторы , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису .
6. Вычислить угол между векторами , где - единичные взаимно перпендикулярные векторы.
7. Даны силы , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .
8. Даны вершины треугольника . Определить его внутренний угол при вершине В.
9. Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами , , убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
10. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и .
11. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию , где .
12. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .
13. Даны векторы . Вычислить .
14. Даны точки . Вычислить проекцию вектора на ось вектора .
Ответы к задачам
1) -7, 13. 2) 15, . 4) . 6) . 7) 2. 8) -1/3.
9) . 10) . 11) .
12) . 13) .
Ответы к домашнему заданию
1) 9. 2) 5. 3) 10. 5) . 6) . 7) 13. 8) .
10) . 12) 6. 13) 5. 14) 3.
Занятие 3
Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов
Определение1. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами и от него к , човершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)
Тройка правая Тройка левая
Определение 2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяются условиями:
1. , где - угол между .
2. .
3. - правая тройка векторов.
Свойства векторного произведения
1. (свойство антиперестановочности сомножителей);
2. (распределительное относительно суммы векторов);
3. (сочетательное относиельно числового множителя);
4. (равенство нулю векторного произведения означает коллинеарность векторов);
5. , т. е. момент сил равен векторному произведению силы на плечо.
Если вектор , то .
Определение 3. Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое следующим образом: . Если векторы заданы своими координатами: , то
~ .
Свойства смешанного произведения
1. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство = 0.
2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах
: