- •Занятие 1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •1. Определить точку n, с которой совпадает конец вектора если его
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Примеры решения задач
- •Домашнее задание
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
Примеры решения задач
Задача 1. Найти координаты векторного произведения , если , .
Решение. Найдем и . Векторное произведение, по определению, равно .
Задача 2. Силы и приложены к точке . Вычислить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки .
Решение. Найдем силу и плечо : . Момент
сил вычисляется по формуле
, а его модуль .
Задача 3. Даны координаты вершин параллелепипеда: . Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.
Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:
.
Объем этого параллелепипеда .
С другой стороны, объем параллелепипеда , - это площадь параллелограмма: .
, тогда высота .
Угол между вектором и гранью найдем по формуле
.
так как вектор перпендикулярен грани, в которой лежат векторы . Угол между этим вектором и вектором находим по известной формуле
. Очевидно, что искомый угол .
Итак: .
Задача 4. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки , . Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.
Решение. Найдем три вектора: .
.
Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: . Следовательно, эти три вектора линей-
н о зависимы. Найдем линейную зависимость от .
.
Решая эту систему, получим , т.е. .
Задачи
1. . Вычислить: а) ; б) ;
в) .
2. . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и .
3. Заданы векторы . Найти координаты векторов:
а) б) ; в) .
4. Вычислить площадь треугольника с вершинами
.
5. В треугольнике с вершинами , и найти высоту .
6. Найти вектор , если векторы имеют следующие координаты:
.
7. Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки .
8. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех вектров, если а) ; б) .
9. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если
.
10. В тетраэдре с вершинами в точках и
вычислить высоту .
11. Проверить, компланарны ли данные векторы:
а) ;
б) .
12. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.
13. Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD , если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен V:
а) ;
б) .
Домашнее задание
1. Упростить выражение .
2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - единичные векторы, угол между которыми равен .
3. Даны векторы . Найти вектор
.
4. Дан треугольник с вершинами . Найти его площадь.
5. Даны силы , приложенные к точке . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки .
6. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах:
1) , где - взаимно перпендикулярные орты;
2) .
7. Доказать, что точки лежат в одной
плоскости.
8. Даны вершины тетраэдра . Найти длину высоты, опущенной из вершины О на грань АВС.
9. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная,
что , вычислить .
10. Вектор перпендикулярен к векторам , угол между равен . Зная, что , вычислить .
11. Даны векторы . Вычислить .
12. Установить, компланарны ли векторы , если
1) ;
2) ;
3) .
13. Доказать, что точки лежат в одной плоскости.
14. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках .
15. Даны вершины тетраэдра . Найти его высоту, опущенную из вершины D.
16. Объем тетраэдра , три его вершины находятся в точках . Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси .
Ответы к задачам
1) . 2) . 3) (-3, 5, 7), (-6, 10, 14), (-12, 20, 28).
4) . 5) 5. 6) (-20, 7, -11). 8) Нет, да. 9) 17/2. 10) . 11) Да, нет.
13) (0, 0, 0), (0, 1, 0).
Ответы к домашнему заданию
1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) 0. 8) 11.
9) 24. 10) . 11) -7. 12) Да, нет, да. 14) 3. 15) 11. 16) (0, 8, 0), (0, -7, 0).
Типовой расчет
Задача 1
1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . Выразить через векторы , если
.
2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла между векторами , если .
3. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если .
4. Даны векторы , угол между которыми составляет . Построить вектор и определить его модуль, если .
5. В трапеции . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам .
6. Найти вектор , коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол и имеющий длину .
7. Найти вектор , образующий c ортом угол , с ортом - угол , если .
8. Даны три вершины параллелограмма :
. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.
9. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек
.
10. На оси абсцисс найти точку М, расстояние которой от точки равно пяти.
11. Определить координаты концов отрезка, который точками и делится на три равные части.
12. Вектор составляет с осями углы . Какой угол он составляет с осью ?
13. Даны три вершины параллелограмма: . Найти его четвертую вершину D.
14. Вектор составляет с осью ОХ угол , а с осью OY угол . Определить координаты точки М, если её ордината Z отрицательна, и выразить вектор через орты .
15. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если .
16. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла между векторами и , если .
17. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек и .
18. Даны три вектора: . Найти разложение век-
тора по базису .
19. Составляют ли векторы базис в пространстве и каковы координаты вектора в этом базисе. .
20. Составляют ли векторы базис в пространстве и каковы координаты вектора в этом базисе. .
21. Даны четыре вектора: . Можно ли любые три из них принять за базис?
22. Найти вектор , образующий с ортом угол , с ортом угол , если .
23. Найти линейную зависимость между векторами
.
24. Являются ли векторы компланарными?
25. Даны вершины треугольника: . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
26. - медианы треугольника АВС. Выразить через векторы .
27. В параллелограмме АВСD обозначены . Выразить через векторы , где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.
28. В треугольнике АВС . Полагая ,
выразить через векторы .
29. В ромбе даны диагонали . Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба: .
30. На трех некомпланарных векторах: - построен параллелепипед . Выразить через векторы, совпадающие со всеми остальными ребрами, диагоналями и диагоналями граней этого параллелепипеда.