3.2. Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины - это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное (бесконечное множество, все элементы которого можно занумеровать натуральными числами) множество значений.

Например, число появлений герба при трех подбрасываниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3); число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5); число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения 1, 2,..., N, где N - число имеющихся в наличии патронов), число опечаток в книге (возможные значения 0, 1,2, ..., n) - это все дискретные случайные величины.

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины X, принимающей с положительными вероятностями значения х₁, х₂ х₃, ..., достаточно знать вероятности, с которыми случайная величина принимает все свои возможные значения р_k=P{X=х_k}. Совокупность значений случайной величины {х_k} и их вероятностей {p_k} называют рядом распределения. Ряд распределения часто записывают в виде таблицы, где в верхней строчке перечисляют значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению - многоугольнику распределения. Многоугольник распределения строится следующим образом: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины х₁, x₂, x₃, ..., а по оси ординат - вероятности этих значений р₁, p₂, p₃, .... Полученные точки с координатами (x₁, p₁),(x₂, p₂),(x₃, p₃), ... соединяют отрезками прямых (рис. 3.1.).

Здесь изображен многоугольник распределения дискретной случайной величины, принимающей 6 значений.

Функция распределения любой дискретной случайной величины определяется через ряд распределения с помощью равенства , из которого следует важнейшее свойство ряда распределения: сумма всех вероятностей, составляющих ряд распределения, равна единице: .

Исходя из определения функции распределения дискретной случайной величины, можно записать некоторые характерные свойства такой функции:

1) функция распределения дискретной случайной величины - разрывная ступенчатая функция;

2) функция распределения дискретной случайной величины возрастает скачками при тех значениях х, которые являются возможными значениями этой случайной величины;

3) величина скачков функции распределения дискретной случайной величины равна разности F(x_k+0)-F(x_k)=p_k=P{X=x_k};

4) сумма всех скачков функции распределения дискретной случайной величины равна единице.

Рассмотрим некоторые дискретные распределения, часто встречающиеся на практике.

3.2.1. Распределение Бернулли

Производится один опыт (или наблюдение), в котором может произойти или не произойти событие А. Вероятность того, что событие А произойдет равна числу р. Один такой опыт, в котором возможны лишь два исхода, называемые "успех" и "неудача", называют испытанием Бернулли.

Пусть случайная величина Х характеризует появление события А в данном опыте, то есть

тогда Р{Х=1}=Р{А}=р; ;

и говорят, что случайная величина Х распределена по Бернулли.

Это кратко записывают в виде Х ~ В(р).

Функция распределения такой случайной величины имеет вид (Рис. 3.2):

Пример 3.1. При подбрасывании монеты может выпасть орел (Х=1) или решка (Х=0). Если монета однородна и симметрична, то р = 0,5.