2.3. Формула Бейеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса, названная по имени установившего ее в 1763 году Т. Бейеса.

Пусть имеется полная группа несовместных событий - гипотез Н₁, H₂, ..., Нn. Вероятности этих гипотез до проведения опыта известны и равны соответственно Р(Н₁), P(H₂), .... Р(Нn). Эти вероятности называют априорными (или вероятностями a priori). Произведен опыт, в результате которого произошло некоторое событие А. Требуется пересчитать вероятности гипотез в связи с появлением этого события, т.е. вычислить условную вероятность Р(Н_i|А) для каждой гипотезы. Условные вероятности гипотез после проведения опыта и реализации события А называют апостериорными (или вероятностями a posteriori). По теореме умножения имеем:

Р(А·Н_i)=Р(А|Н_i)·Р(Н_i)=Р(Н_i|А)·Р(А) для , откуда Р(Н_i|А)=для .

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

для .

Последняя формула носит название формулы Бейеса. Это формула для вычисления апостериорных вероятностей через априорные.

Примеры использования формулы Бейеса:

Пример 2.13. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей, - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами брака: 5%, 2%, 3%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным, требуется определить вероятность того, что оно сделано на первой линии.

Решение. Обозначим Н₁, H₂, H₃ события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено на первой, второй и третьей линиях.

Согласно условиям задачи Р(Н₁)=0,2; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,5.

Обозначим А - событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным.

По условиям задачи Р(А|Н₁)=0,05; Р(А|Н₂)=0,02; Р(А|Н₃)=0,03.

По формуле Бейеса имеем

Пример 2.14. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 - удовлетворительно и 1 - плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все, хорошо подготовленный - на 16, удовлетворительно подготовленный - на 10 и плохо подготовленный - на 5.

Вызванный наугад студент ответил на три заданных ему случайным образом вопроса. Найти вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросами.

Решение. Обозначим А - событие, состоящее в том, что случайно вызванный студент ответил на все доставшиеся ему вопросы.

Это событие может произойти при реализации одной из четырех гипотез:

Н₁ - студент подготовлен отлично;

Н₂ - студент подготовлен хорошо;

Н₃ - студент подготовлен удовлетворительно;

Н₄ - студент подготовлен плохо.

Априорные вероятности гипотез равны

Р(Н₁)=0,3; Р(Н₂)=0,4; Р(Н₃)=0,2; Р(Н₄)=0,1.

Вероятности наступления события А при условии реализации соответствующей гипотезы найдем, применяя классическое определение вероятности;

Р(А|Н₁)=1; Р(А|Н₂)==0,491; Р(А|Н₃)==0,105; Р(А|Н₄)==0,009.