3.2.3. Геометрическое распределение
Рассмотрим последовательность испытаний, в каждом из которых может произойти с вероятностью р событие А ("успех"), а может и не произойти ("неудача"). Опыты продолжаются до первого появления события А.
Случайная величина Х - число произведенных опытов или число испытаний Бернулли, предшествующих наступлению первого успеха. Ясно, что случайная величина Х может принимать лишь значения из множества целых положительных чисел: 0,1,2, ... (т.е. успех может произойти при первом испытании, втором, третьем и т.д.). Найдем для k=0,1,2,..., т.е. вероятность того, что успех наступит после k-го опыта. Ясно, что событие Вk можно представить как произведение
B0=A;
;
;
и т.д.
По
теореме умножения для независимых
событий
Случайная
величина Х имеет
геометрическое распределение с
параметром р, если она принимает целые
положительные значения k=0,1,2,...
с вероятностями
.
Кратко это записывают в виде Х ~ G(p).
Вероятности рk образуют геометрическую прогрессию, отсюда и название "геометрическое распределение".
Просуммировав
бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, легко убедиться в том, что
.
Пример 3.4. Найти вероятность того, что при подбрасывании симметричной игральной кости шестерка первый раз появится при третьем подбрасывании.
Решение.
Обозначим Х - число подбрасываний
игральной кости до первого появления
шестерки. Ясно, что Х ~ G(
).
Искомая
вероятность - это вероятность того, что
случайная величина Х примет значение,
равное двум, т.е.
Пример 3.5. Симметричную монету подбрасывают до первого появления орла. Найти вероятность того, что первый раз орел выпадет при пятом подбрасывании.
Решение.
Обозначим Х - число подбрасываний монеты до первого появления орла.
В
силу симметричности монеты Х ~ G(
).
Искомая
вероятность - это вероятность того, что
случайная величина Х примет значение,
равное четырем, т.е.
3.2.4. Гипергеометрическое распределение
Многие задачи комбинаторики могут быть сведены к следующей модели. В генеральной совокупности из N элементов имеется М элементов красного цвета и N - М элементов черного цвета. Случайным образом выбирается группа из n элементов.
Случайная величина Х - число элементов красного цвета среди отобранных n элементов. Ясно, что случайная величина Х может принимать любые целые значения от 0 до наименьшего из чисел {n,М}.
Найдем вероятность рm=Р{Х=m} - вероятность того, что случайная величина Х приняла значение, равное m, или что среди отобранных n элементов ровно m красных.
Для
того, чтобы найти рm,
заметим, что выбранная группа состоит
из m красных и п - m черных элементов.
Красные элементы могут быть выбраны
различными способами, а черные
способами. Так как любой выбор красных
элементов может комбинироваться с любым
выбором черных, имеем
Определенный таким образом набор вероятностей называется гипергеометрическим распределением.
Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает целые значения m=0,l,2,...,min{n,M} с вероятностями
Пример 3.6. Пусть в партии из N изделий М изделий 1-го сорта. Из этой партии извлекаются для контроля n изделий. Закон распределения случайной величины Х - числа изделий 1 -го сорта среди выбранных n изделий - имеет гипергеометрическое распределение.
Пример 3.7. В комитете каждый из 50 американских штатов представлен двумя сенаторами. Найти вероятность того, что в комитете из 50 случайно выбранных сенаторов представлен данный штат.
Решение. Обозначим Х - число сенаторов в комитете, представляющих данный штат. Из условия задачи следует, что N = 100 сенаторов, М = 2 сенатора, представляющих данный штат, n = 50 -число сенаторов в комитете.
Данный штат будет представлен в комитете, если Х = 1 или Х = 2, т.е. искомая вероятность Р равна
