3.3.2. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ, если плотность распределения имеет вид

Кратко это записывают в виде Х~Е(λ). Функция распределения такой случайной величины (рис.3.7)

Показательное распределение - единственное наделенное "полной потерей памяти". Это свойство называют также свойством отсутствия последействия.

Аналитически это свойство записывают следующим образом: для любых чисел х₁ и x₂

Р{Х>х₁+x₂}=Р{Х>х₁}·Р{Х>х₂}

Считают, что время жизни атома имеет показательное распределение. Свойство отсутствия последействия имеет следующий смысл: каков бы ни был настоящий возраст, оставшееся время жизни не зависит от прошлого и имеет то же самое распределение, что и само время жизни.

Покажем, что показательное распределение удовлетворяет свойству отсутствия последействия, для этого запишем вероятности через функции распределения.

Тогда

Использование показательного распределения в математических моделях реальных явлений обычно связано именно с этим характерным свойством.

Пример 3.15. Время обслуживания клиента на станции технического обслуживания имеет показательное распределение, причем чем дольше обслуживают в среднем каждого клиента, тем меньше значение параметра λ.

В теории вероятностей широко используют обобщения показательного распределения: распределения Вейбулла и гамма-распределения.

Распределение Вейбулла с параметром α(α>0) - это непрерывное распределение с плотностью

Здесь Г(α) - гамма-функция.¥

Гамма-функция - это функция вида

Гамма-функция интерполирует факториалы в том смысле, что Г(n+1)=n! для n=0,1,2,...; также имеет место соотношение Г(t)=(t–l)Г(t–l).

Множитель в выражении для плотности распределения Вейбулла является нормировочным, этот множитель необходим для того, чтобы было выполнено условие нормировки:

Распределение Вейбулла широко используют в теории надежности.

Если значение параметра а распределения Вейбулла равно 1, то плотность распределения Вейбулла совпадает с плотностью показательного распределения.

Гамма-распределение широко используется в математической статистике.

Гамма-распределение с параметрами а и b - это непрерывное распределение с плотностью

Здесь а>0 - масштабный параметр, b>0 - существенный параметр.

При b=1 плотность гамма-распределения совпадает с плотностью показательного распределения.

Множитель в выражении для плотности гамма-распределения является нормировочным, он необходим для того, чтобы, было выполнено условие нормировки

В теории очередей гамма-распределение иногда называют распределением Эрланга.

3.3.3. Распределение Коши

Распределение Коши - это непрерывное распределение вероятностей с плотностью

где μ - параметр распределения.

То, что случайная величина Х имеет распределение Коши с параметром μ, кратко записывают в виде Х~К(μ).

Распределение Коши впервые было рассмотрено О. Коши в 1853 г. Кривая распределения Коши показана на рисунке 3.8.Кривая распределения симметрична относительно прямой х=μ.

Коэффициент в выражении для плотности распределения Коши является нормировочным, он необходим для того, чтобы

Распределение Коши используют в математической статистике.