3.2.5. Распределение Пуассона
Случайная
величина Х имеет
распределение Пуассона с
параметром
,
если эта величина принимает значения
k
= 0,1,2,... c
вероятностями
.
Кратко это записывают в виде Х ~ П (λ).
Распределение Пуассона впервые было
рассмотрено С. Пуассоном в 1837 г.
Распределение
Пуассона иногда называют законом редких
событий, так как вероятности
дают приближенное распределение числа
наступлений некоторого маловероятного
(редкого) события при большом числе
независимых испытаний. В этом случае
полагают λ=n·р,
где n
- число испытаний Бернулли, р - вероятность
осуществления события в одном испытании.
Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.
Теоремa
Пуассона.
Если в схеме Бернулли
;
;
так что
(конечному числу), то
при любых k, k=0,l,2,...
Пример
3.8. Столетние
старики.
Каждый отдельный человек в момент
рождения имеет мало шансов прожить 100
лет, т.е. вероятность р такого события
достаточно мала. Продолжительность
жизни отдельных людей в достаточно
большом обществе в первом приближении
можно считать стохастически независимыми
и можно сравнить n
рождений с n
независимыми испытаниями, в которых
успехом (осуществлением события) является
смерть после 100 прожитых лет. В устойчивом
обществе, где ни его размеры, ни уровень
смертности существенно не изменяются,
естественно ожидать, что частота лет,
когда умирают ровно k
столетних стариков приблизительно
равна
,
где параметр λ
зависит от размера общества (n)
и от состояния здоровья его членов (р).
Данные по Швейцарии подтверждают
этот-вывод.
Пример
3.9. Опечатки.
Если при наборе книги существует
постоянная вероятность того, что любая
буква будет набрана неправильно, и если
условия набора остаются неизменными,
то мы имеем столько испытаний Бернулли,
сколько букв в книге. Тогда вероятность
того, что определенная страница содержит
ровно k опечаток будет приближенно равна
,
где λ - характеристика наборщика.
Возможная усталость наборщика, трудные
места текста и т.п. увеличивают вероятность
ошибки и могут приводить к увеличению
количества опечаток. Таким образом,
распределение Пуассона можно использовать
для обнаружения существенных отклонений
от нормы или от требований статистического
контроля.
Пример 3.10. Дни рождения. На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения трех студентов.
Решение. Пусть Х - число студентов факультета, родившихся первого сентября. Тогда искомая вероятность - это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, равное трем.
В
данной задаче можно применить схему
Бернулли с n
= 500 и
.
Для применения теоремы Пуассона положим
Тогда искомая вероятность
Пример 3.11. Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Найти вероятность того, что в партии из 1500 изделий будет не более трех бракованных.
Решение. Пусть Х - число бракованных изделий в партии из 1500 изделий.
Тогда искомая вероятность - это вероятность того, что случайная величина Х не превышает трех.
В данной задаче применима схема Бернулли с n=1500 и р=0,002. Для применения теоремы Пуассона положим λ=1500·0,002=3. Тогда искомая вероятность
Пример 3.12. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01.
Найти вероятность того, что в течение одной минуты никто не позвонит.
Решение.
Пусть Х - число позвонивших абонентов
в течение одной минуты. Тогда искомая
вероятность - это вероятность того, что
случайная величина Х примет значение,
равное нулю. В данной задаче применима
схема Бернулли с n
= 100 и р = 0,01, Для применения теоремы
Пуассона положим λ=100·0,01=1. Тогда искомая
вероятность
