4.4. Моменты случайной величины

Кроме уже рассмотренных числовых характеристик, в теории вероятностей используют так называемые моменты.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции). Теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины.

Моментом случайной величины порядка n называют математическое ожидание n-ой степени случайной величины: d_n=M(Xⁿ).

Определение момента случайной величины совпадает с определением начального момента порядка n в механике, если на оси абсцисс в точках х₁,x₂, ...,x_n сосредоточены массы р₁, p₂, ..., р_n .

Нетрудно убедиться, что введенная ранее основная характеристика положения - математическое ожидание - представляет собой момент первого порядка.

Центрированной случайной величиной Х°, соответствующей величине X, называется величина, равная разности исходной случайной величины и ее математического ожидания: X°=X–MX.

Очевидно, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Моменты центрированной случайной величины называют центральными моментами. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести, потому что центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю точку (центр тяжести).

Таким образом, центральный момент случайной величины Х порядка n - это математическое ожидание n-ой степени центрированной случайной величины: μ_n=M(X–MX)².

Второй центральный момент - это дисперсия случайной величины: μ₂=M(X–MX)²=DX.

Если обратиться к механической интерпретации, то дисперсия представляет собой момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести.

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Поэтому естественно в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо нечетный центральный момент. Простейший из них - третий. Он имеет размерность куба случайной величины; чтобы получить безразмерную характеристику, m₃ делят на куб среднеквадратического отклонения.

Кроме рассмотренных выше моментов, на практике иногда применяют абсолютные моменты.

Абсолютный момент случайной величины порядка n - это математическое ожидание n-ой степени модуля случайной величины М|Х|ⁿ.

Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

Во многих задачах практики полная характеристика случайной величины - закон распределения - или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.

Часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем эту замену производят так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.

Например, всякое распределение Пирсона однозначно определяется своими первыми четырьмя моментами d₁, d₂, d₃, d₄. Это свойство используется для описания часто встречающихся на практике распределений.