27. Вычет функции. Теорема о вычетах.

Опр: Пусть a изолир-я ок-ть фун-ии , вычетом фун-ии в точке а наз-ся: где некая ок-ть целиком лежащая в проколотой ок-ти точки а, не содержащих других особых точек

Обозначается вычет:

Пр:

Теорема (Вычет фун-кции является ее разложением в ряд Лорана в окр-ти точки а)

Пр:

Следствие:

1)

2)Если точка а полюс 1-го порядка ф-ии ,

3) Если точка а полюс к-го порядка ф-ии, то вычет ф-ии будет авен:

Замечание:

4)Если в некой окр-ти точки а фун-я представлена в виде где аналитична, причем

Док-во: Функция имеет в точке а 0 первого порядка

Пр:

Найти вычет

с

Теорема о вычетах пусть ф-ция f(z) аналит.в обл. D за искл. конечного числа особ. т. a_k к=1,…,n. Пусть контур Г целиком лежит в обл. D и не проходит ни через одну из особ. точек ф-ции f(z), причем все особ. т. лежат внутри контура .

док-во поведем n окр. |z-a_k|=r_k так чтобы они целиком лежали внутри контура Г так, что бы внутри каждой из этих окр. была токлько одна особая т. ф-ции и они не имели общих точек - γ_k. ч.т.д.

28. Понятие логарифмического вычета. Принцип аргумента.

Пусть функции аналитичны в проколотой окрестности точки

Опр: Логарифмическим вычетом функции в точке называется вычет ее логарифмической производной

1. Пусть – ноль порядка для функции т.е. где аналит.

2. Пусть полюс порядка для функции где - аналитична и .

Точка является полюсом первого порядка.

;

Теор:: Пусть функция аналитична в D за исключением конечного числа полюсов кратностей соответственно и обращающихся в нуль в точках кратностей пусть контур целиком лежит в области D и охватывает все полюсы и нули функции f(z), тогда справедливо рав-во:

Док-во: По теореме о выч.

Пр:

;

;

– аналитична на всей плоскости P=0

1. (график:един.окружность с центром (1,0) на компл.плоскости);

2. 

Геометрический смысл логарифмического вычета.

Будем считать точку z0 началом,концом контура Г.

Пусть точка z проходит кривую Г начиная из точки z0в положительном напрвлении. Тогда будет описывать на плоскости w некоторую непрерывную кривую Г’ с началом в точке замкнута.

Пусть аргумент точки w0 до начала обхода равен . Обозначим аргумент конечной точки w0

Вообще говоря справедливо:

С другой стороны:

Обозначим

Логарифмический вычет будет равен изменению аргумента функции f(z) деленному на и умноженная на аргумент f(z) !!! дальше видимо пропущена строчка

Теор: Пусть функция аналитична в D за исключением конечного числа полюсов кратностей соответственно и обращающихся в нуль в точках кратностей

Пусть кривая L целиком лежит в D и охватывает все нули и полюсы функции f(z), тогда разность между числом нулей и числом полюсов функции f(z) равна делимому на 2 изменению аргумента функции f(z) при обходе кривой L; т.е

29. Теорема Руше.

Теорема: Пусть функции аналитичны в области D и контур L целиком лежит в этой области, тогда если на контуре L выполняется неравенство то функция и функция имеют внутри контура L одинаковое число нулей.

(график: область D внутри которой замкнутая кривая(контур) L)

Док:

Применим принцип аргумента.

Рассмотрим последовательность слаг.

Значит значения лежат внутри круга с центром в точке 1 радиуса 1.

Значит измен.вдоль

Т.о изменение

Так как функции аналитичны в области , то функция не имеет полюсов. Т.о в силу принципа аргумента число нулей внутри контура L.

тоесть число нулей совпадает.

Пример: Определить количество корней уравнения.

(график:единичная окружность на компл.плоскости |z|=1)