15. Интегральная формула Коши.

Теорема(интегральная формула Коши).

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и на ее границе Г. Тогда для любой точки справедливо равенство:

Док-во.

Пусть -произвольная точка. Выберем Так как функция f(z) аналитична в точке а,то она в ней непрерывна. Следовательно, для выбранного найдется такое что для всех таких, что выполняется неравенство

Рассмотрим круг k1(a,r) такой что Обозначим границу этого круга через Рассмотрим функцию она аналитична в области D, за исключением точки a. Значит,она аналитична в 2связной области, полученой из области D исключением круга k1(a,r). Тогда по следствию из теоремы Коши:

Покажем, что последний интеграл равен f(a).

Покажем, что равно нулю. Для этого оценим его по модулю.

Замечание 1. Из формулы коши следует, что если функция f(z) аналитична в области D и на ее границе, то она однозначно определяется через свои значения на границе Г области D.

Этот факт отображают следующим образом:

Замечание2. Если точка a лежит во внешности контура Г, то

Пример. граница области D.

(график:единичная окружности заштрих.внутри)

16.Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов.

Пусть задана последовательность функций комплексного переменного z. f₁(z),f₂(z),…f_n(z)..определенных на множестве D

Опр. Функциональным рядом называется символ вида f₁(z)+f₂(z)+…+f_n(z)+… или

Опр. n-й частичной суммой называется функция S_n(z)= f₁(z)+f₂(z)+…+f_n(z)

Рассмотрим точку z₀ области D, тода функциональному ряду ставится в соответствие числовой ряд f₁(z₀)+f₂(z₀)+…+f_n(z₀)+…=

Тогда если этот числовой ряд сходится то z₀ называется точкой сходимости.

Множество E всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости функционального ряда.

Опр. Функция S(z) определенная на области E для которой справедливо равенство

называется суммой функционального ряда.

Опр. Функциональный ряд f₁(z)+f₂(z)+…+f_n(z)+…= называется равномерно сходящимся на множестве M если выполняются условия.

1. Сходится к функции S(z) на M

2. 

Теорема Критерий Коши равномерной сходимости

Функциональный ряд сходится равномерно к функции S(z) на множестве М тогда и только тогда, когда

Теорема. Признак Вейерштрасса

Пусть дан функциональный ряд и для всех существует сходящийся знакоположительный ряд такой что тогда данный функциональный ряд сходится сходится равномерно на множестве M.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1. Теорема. Если функциональный ряд сходится равномерно на M и функции f_n(z) непрерывны на этом множестве то сумма этого ряда является непрерывной функцией на М.

2. Теорема. Пусть функциональный ряд сходится равномерно на спрямляемой кривой Г и каждая функция f_n(z) непрерывны на Г тогда этот ряд можно почленно интегрировать вдоль кривой Г

3. Теорема. . Пусть функциональный ряд сходится равномерно в области D и функции f_n(z) аналитичны в этой области, тогда сумма ряда S(z) также аналитична в области D, причем справедливо равентство