4. Понятие функции комплексной переменной. Примеры.

Пусть на комплексной плоскости задано множество D.

Опр: Говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной z, если каждой т. множества D, по некоторому правилу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w. W=f(z).

При этом, если каждому z соответствует одно число, то функция называется однозначной, в противном случае многозначной.

Пр:

1. -однозначн.

2. - однозначн.

3. 

Формула Муавра: ;

Замечание: Пусть z=x+iy, тогда функцию w можно представить в виде где т.е задание функции комплексной переменной эквивалентно заданию двух действительных функций двух переменных.

Пр:

В отличии от ф-дn, где принято изображать график на координатной плоскости, для ф-ии комплексной переменной, принято откладывать значения z на одной плоскости, а значения ф-ии на другой плоскости. В результате функция коплексной переменной представляет отображение множества D плоскости z на множество E плоскости w.

Опр: если различные точки множества D соответствуют различным точкам множества E, то функцию называют однолистной.

Замечание: для функции комплексной переменной вводится все анологичные понятия ф-ии одной переменной.

5. Линейная ф-ция. Ее геометрический смысл.

Задана ф-ция w=az+b, abC - const, a0, D(w)=C.

1. a=1, w=z+b - ф-ция w осущ. параллельный перенос на радиус-вектор числа b.

2. a1 a. |a|=1; w=az+b; w-z₀=a(z-z₀), |w-z₀|=|z-z₀|; Arg(w-z₀)=Arg(a)+Arg(z-z₀); z₀=b/(1-a);

лин. ф-ция задает поворот вокруг точки b/(1-a)на угол Arg(a).

b. |a|1, Arg(a)=0; w-z₀=a(z-z₀), z₀=b/(1-a); |w-z₀|=|a|*|z-z₀|; Arg(w-z₀)=Arg(z-z₀);

Лин. ф-ция представляет собой гомотетию с центром в т. z₀ и коэфф., равным |a|.

c. запишем a в тригонометрической форме: a=ρ(cosφ+isinφ)= ρτ; |ρ|=|a|, Arg(ρ)=0; |τ|=1, Arg(τ)= φ=Arg(a); w-z₀=a(z-z₀); w-z₀= ρτ(z-z₀); введем доп. ф-цию h= ρ(z-z₀)+z₀; w-z₀= τ(h-z₀); т.о. w явл. композицией гомотетии с центром в т z₀ с коэфф. |a| и поворота вокруг т. z₀ на угол Arg(a).

зам. Рассм. лин. ф-цию вида w-z₀=a(z-z₀)+c. Данная ф-ция это композиция гомотетии, поворота и парал. переноса, то есть явл. преобразованием подобия.

6. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Функция w=argz

Пусть задана однозначная функция w=f(z) в некоторой окрестности точки z₀=x₀+iy₀

Опр. Комплексное число b C называется пределом функции w=f(z) в точке z0 если для любого существует такое такое что для любого z из рассматриваемой окрестности точки z0 как только выполнится неравенство

Зам. Все основные свойства предела переносятся и на случай комплексного переменного.

В отличии от предела функции 1й переменной в комплексном анализе рассматривают только 3 вида пределов в которых участвует бесконечно удаленная точка, а именно

Т.к. задание функции комплексного переменного равносильно заданию 2х действительных функций то справедлива теорема

Теорема. Пусть дана точка z₀=x₀+iy₀ и число b=b1+ib2 и в окрестности точки z0 определена функция f(z)=U(x,y) + iV(x,y) тогда b является пределом функции f(z) в точке z0 в том и только том случае когда функции U(x,y) и V(x,y) имеют пределы в окрестности точки (x0,y0) равные b1 и b2 соответственно

Пример. Вычислить предел w=z² в точке z₀=1+2i

z=x+iy w=x²-y²+2xyi

U(x,y)= x²-y² V(x,y)=2xy

Опр. Функция w=f(z) называется непрерывной в точке z0 если

Зам. В силу определения все основные свойства непрерывных функций можно перенести в комплексный анализ.

Функция w=argz

D(w)= C\{0} многозначная значений счетно