24. Устранимые особые точки.

опр. т. а - наз. изолированной особенностью ф-ции если f(z) аналит. в некот. проколотой окр. т. а, а в самой т. а может быть и не аналит.

опр. т. а наз. устранимой особой т. f(z) если разложение в ряд Лорана не содержит членов с отриц. степенями, то есть главная часть = 0.

теор. т. а явл. устранимой особ. ф-ции f(z) т и т т, когда в этой т. сущ. конечный предел .

док-во: 1. необх: дано: а -устр., док-ть: сущ предел. .

2. дост: дано: предел, док-ть: нет главной части. в ряде Лорана при устремлении za получим, что главная часть дает бесконечность, правильная - б/м величины, т.к. предел=число, то значит главная часть=0.

25. Полюсы функции комплексной переменной.

Точка а называется полюсом функции f(z), если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности точка а содержит конечное число членов (1), т.е. При этом наименьший показатель степени называется порядком полюса.

Теорема. Точка а является полюсом для функции f(z) тогда и только тогда, когда

Доказательство.

1. Необходимость.

Т.к. а – полюс, то Рассмотрим функцию φ(z) следующего вида:

φ(z) является аналитической в окрестности т. а

.

2. Достаточность.



В частности, это справедливо для М=1 |f(z)|>1Значит, в некоторой окрестности т. а f(z)≠0

Рассмотрим функцию φ(z)= . Она аналитична в некоторой окрестности т.а. Кроме того, . В силу аналитичности φ(z) в окрестности т.а. ее можно представить в виде степенного ряда. Для нее т.а. является устранимой особенностью:

, к≥1

, k≥1 ,

f(z)=

b₀+b₁(z-0)+… (в силу аналитичности)

Тогда: f(z)=b₀(z-a)^k+b₁(z-a)^-k+1+…, k≥1,b₀≠0., т.е. ряд содержит конечное число отрицательных степеней.

Пример. z=0 =

26. Существенно особые точки функции комплексной переменной. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

Т.а. называется существенно особой точкой функции f(z), если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности т.а. содержит бесконечное число членов.

Теорема. Т.а. является существенно особой точкой для функции f(z) тогда и только тогда, когда не существует.

Доказательство.

1. Необходимость.

Предположим противное, т.е. что предел существует. Тогда он либо конечный, либо бесконечный. В первом случае т.а. – точка устранимой особенности => главная часть не содержит ни одного слагаемого. Во втором случае т.а. – полюс => главная часть содержит конечное число слагаемых => это не существует особая точка => противоречие => предела нет.

2. Достаточность.

Пусть не существует => это не устранимая особенность, ни полюс. => главная часть содержит бесконечное число слагаемых => т.а. – существенно особая точка.

Пример.

f(z)=z²*e^1/z

D(f)=C\{0}; z=0 – особая точка

e^1/z=[ξ=1/z]=e^ξ=1+

Главная часть содержит бесконечное число слагаемых => т.0 – существенно особая точка.

Теорема (Сохоцкого-Казорета-Вейерштрасса).

Если т.а. – существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа А, включая А=∞, существует последовательность z_n→A такая, что f(z_n)→A

Доказательство.

1) Пусть А=∞. Т.к. она является изолированной, то существует проколотая окрестность , в некоторой окрестности нет других особых точек.

Рассмотрим окружность т.а. радиусом r. В этой окружности найдется т. z₁ такая, что |f(z₁)|>1, т.к. если такой т. не существует, то это означает, что |f(z₁)|<1, в этой окрестности, т.к. f(z) является ограниченной, т.к. такая т. является правильной. Рассмотрим окрестность т.а. радиуса r/2. В этой окрестности найдется т. z₂ такая, что |f(z₂)|>2. Далее рассмотрим окружность т.а. радиуса r/4. и т.д.

Рассмотрим т.а. радиуса r/2^n-1. В ней найдется т. z_n , такая, что |f(z_n)|>n. Рассмотрим получившуюся последовательность z_n. 0<|z_n-a|<r/2^n-1 => z_n→a =>

2) В проколотой окрестности т.а. найдется т. z такая, что f(z)=А. Тогда из точек этой окрестности строим последовательность z_n→a и получаем, что

Пример.

f(z)=e^1/z , z=0 – существенно особая точка. (по аналогии с предыдущим примером)

А=842 Найдем z_n такую, что z_n→0 и при этом f(z_n)→842

e^1/z=A 1/z= lnA  ln|A|+i(argA+2k); argA=0 => 1/z_n=ln842+i2k  z_n= - искомая последовательность. ;