21. Теорема Лиувилля.

Если f(z) аналит. во всей комп. пл-ти С и огрна. в ней, то она постоянна.

док-во: т.к. f(z) аналитична в C, то ее можно представить в виде ряда, то f(z)=c₀+c₁z+c₂z²+… т.к. f(z) ограничена., M>0 zC |f(z)|M. Рассм. произв. окр. γ: |z|=r с ц. в 0 радиуса r, тогда в силу нерав-в Коши будем иметь . Устремим за искл. .

22. Нули аналитической функции.

Опр: Компл.число наз. Нулем ф-ии ,если .

Пр: 1. (график построить. две точки )

2. . (график ед.окружность)

Опр: Ноль ф-ии наз. Изолирован.,если сущ. Такая окрестность т. в кот нет др нулей этой ф-ии.

Теорема: Ф-я отличная от тождеств 0 аналит. В области D может иметь в этой области только изолир.нули.

Док-во: Предположим противное, что ф-я имеет неизолир.ноль . Т.е. в любой окр.т. есть по крайней мере еще один ноль. Обозначим множество этих нулей через В силу теоремы ед. что противоречит. Ч.т.д.

Теорема: Если точка является нулем аналит. отличн от тождеств , то существует такое натуральное что в некоторой окрестности точки справедливо: , где -аналитическая функция в этой окрестности причем .

Докозательство: Т.к. функцию аналитич. В точке , то в некоторой ее окрестности Т.к. - ноль функции , то . Т.к. не тожд.равна 0 в окрестности точки ,то не все коэффициенты разложения равны 0,т.е. существует или =(возможно дописать) .

аналитична,

Определение: Натуральное число представл.(*) называется порядком нуля.

Теорема: Число является нулем порядка функции , аналитичной в точке , т и т т к

Пример: Сколько корней на отрезке имеет уравнение

Порядок нуля 4.

23. Ряд Лорана. Теор. Лорана.

Ряд Лорана примен. для представления аналит. ф-ций в круге. Явл. обощением ряда Тейлора и позв. исслед. ф-ции в кольцевых обл. z<|z-a|<R.

Теор. Лорана: Всякую ф-цию f(z) аналит. в кольце z<|z-a|<R можно представить в виде суммы сход. ряда:

док-во: обозн. кольцо, в кот. аналит. ф-ция через К. Рассм. произв. т. zК. Построим кольцо К’, целиком леж в К, так чтобы zK’ Обозн границу этого кольца через Г₁ и Г₂. Получим, что ф-ция f(z) аналит. в K’ и на его границе. Тогда для этого кольца K’ справедлива фор-ла Коши: . Рассм. их по отдельности: по Г₂: Разложим ф-цию по степеням (z-a): . На окр. Г₂ получ. степ. ряд будет сх-ся равномерно, а f(z) - аналит. на Г₂, знач. явл. огранич., значит ряд сх-ся равн. значит его можно проинтегр. по окр. Г₂: . по Г₁: Рассм. ф-цию и разл. ее по степеням : - геометрич. прогрессия. Данный ряд сх-ся равн. на окр. Г₁ и ф-ция f(z)огран. на этйо окр., тогда ряд равн. сх-ся на Г₁, значит его можно почленно интегр.: . Проведем окр. γ так, что бы она лежела между Г₁ и Г₂, тогда по сл. из теор. Коши f(z) можно предст. в виде: . Первый ряд сх-ся во внешности окр. Г₁, второй - во внутренности окр. Г₁, тогда: , ч.т.д.

опр. ф-ный ряд (*) коэф. кот. нах-ся по фор-ле (**) наз. рядом Лорана ф-ции f(z) в кольце z<|z-a|<R.

опр. Сов-ть членов ряда Лорана с отриц. степенями наз. главной частью ряда,, а с положит. - правильной.

сл.: всякий сх-ся ряд по целым степеням (z-a) явл. рядом Лорана своей суммы.