1.4.2. Кинематика карданного шарнира неравных угловых скоростей

Схема шарнира дана на рис.49а, где 1 – ведущий вал, 2 – ведомый вал, 3 – крестовина. Ведущий вал вращается по часовой стрелке,  - угол его поворота, ведомый вал (его ось) образует угол  с ведущим, соответственно вертикальная ось крестовины BD вращается в вертикальной плоскости ОО₁ОО₁, а горизонтальная ось крестовины АC вращается в плоскости OBOD, наклонённой к вертикали на угол . Ведомый вал также вращается по часовой стрелке,  - угол его поворота. На рис.49б показан вид сбоку на шарнир, а на рис.50 – вид по стрелке А, при этом плоскость вращения вертикальной оси крестовины совпадает с плоскостью рисунка, а плоскость вращения горизонтальной оси крестовины в проекции на вертикальную плоскость представлена эллипсом. На рис.50 вертикальная плоскость ограничена кругом вращения ABCD, а наклонная плоскость ограничена эллипсом ABCD. Нижняя граница эллипса показана пунктирной линией, так как она уходит за плоскость рисунка.

Рассмотрим кинематику карданного шарнира неравных угловых скоростей (асинхронного) с целью установления соотношения частот вращения ведущего и ведомого валов и выяснения зависимости этих соотношений от угла между валами.

Анализ проведём графическим методом. Исходное положение крестовин на рис.50показано жирными линиями АХВ. Эта половина крестовины - верхняя часть вертикальной оси и левая часть горизонтальной оси. Точка В обозначена большим кружком, а точка А – жирной точной. Вертикальный луч ВХ (вертикальная ось крестовины) жёстко связан с ведущим валом шарнира и вращается в плоскости чертежа, а горизонтальный луч (горизонтальная ось крестовины) жёстко связан с ведомым валом шарнира и вращается в плоскости, расположенной под углом  к плоскости чертежа. Круг вращения горизонтального луча АХ на рис.50 показан своей проекцией и представляет собой эллипс АВСD.

Повернем луч ВХ на угол ₁ по часовой стрелке, тогда луч ВХ займёт положение В₁Х, а жёстко связанный с ним луч АХ повернулся бы на тот же угол ₁, если бы он вращался также в вертикальной плоскости. Но горизонтальный луч может вращаться только в круге АВСD (в эллипсе). При этом он повернётся в эллипсе на угол В₁. Этот поворот можно представить состоящим из двух последовательных движений, показанных на рис.50: сначала происходит поворот луча АХ в вертикальной плоскости на угол ₁ (положение АХ), а затем луч АХ поворачивается вокруг оси В₁Х до совмещения его с плоскостью эллипса (положение АХ), а луч АХ в эллипсе образует проекцию угла ₁, для получения реального угла ₁ в плоскости эллипса нужно повернуть эллипс до совмещения его с плоскостью чертежа. Это показывает стрелкой – точка А попадает в точку А. Луч АХ образует реальный угол ₁.

Таким образом, поворот вертикального луча ВХ на угол ₁ (угол поворота ведущего вала) сопровождается поворотом горизонтального луча АХ на угол ₁ (угол поворота ведомого вала). На рис.50 видно, что в первом квадранте круга ОВ , во втором квадранте круга ВО , в третьем квадранте круга ОD , четвёртом квадранте круга DО снова .

Угловая частота вращения оценивается величинами углов  и , так как если за время t₁ ведущий вал повернулся на угол ₁, то ведомый вал за этот же отрезок времени t₁ повернулся на угол ₁. Отношение частот, таким образом, определяется отношением углов  и . Это, очевидно, средние частоты вращения, мгновенные же частоты вращения представляют собой производные:

₁ =

Изложенный графический метод предполагает построение эллипса по соответствующим точкам на линиях О₁О₁ и ВD на рис. 49б. После выбора шага следует по точкам построить эллипс, а затем, задаваясь углами , получить углы .

Из рис.50 видно, что с ростом угла  неравномерность вращения возрастает.

Процедура графического решения такова:

1. Изображается круг АВОD.

2. По принятому шагу и соответствующим точкам рис.49б 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 и т.д. в круге АВОD строится эллипс АВОD.

3. Задаваясь углами  строим углы . Например, задавшись углом 1, проводим линию АХ, затем из точки А по радиусу попадаем в точку А по стрелке, затем из точки А вертикально вверх по стрелке попадает в точку А. Точку А соединяем радиусом с точкой Х. Получает угол ₁.

Предложенный графический метод даёт наглядную картину работы карданного шарнира и позволяет качестве оценить процесс передачи вращения от ведущего вала к ведомому.

Аналитические зависимости могут быть легко получены с помощью рис.51, где показано произвольное сечение кругов вращения вилок кардана. На рис.51 слева показан прямоугольный треугольник с большим катетом в и гипотенузой с с острым углом  между плоскостями вращения вилок кардана. Справа на этом же рисунке представлены два прямоугольных треугольника с острыми углами  и . Это те же треугольники, что и на рис.50 – треугольник АХЕ с острым углом ₁ и треугольник АХЕ с острым углом ₁.

На рис.51 треугольник с углом  имеет катеты с и d, а треугольник с углом  имеет катеты в и d. Отсюда получаем зависимость:

(1)

Соотношение с к в получено из треугольника в левой части рис.51.

В другом виде

tg=tgcos (2)

Соотношения для угловых частот ₁ и ₂, получим путем дифференцирования уравнения (2):