- •Действия над векторами.
- •Базис системы векторов.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Плоскость в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей.
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Общее уравнение прямой.
- •Нормированное уравнение прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Действия над векторами.
1) Сложение векторов.
Опр. Суммой двух векторов и является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).
Рис.1.
Опр. Суммой трех векторов , , называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).
Опр. Если А, В, С – произвольные точки, то + = (правило треугольника).
рис.2
2) Вычитание векторов.
Опр. Под разностью векторов и понимают вектор = – такой, что + = .
В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).
3) Умножение вектора на число.
Опр. Произведением вектора на скаляр k называется вектор
= k = k,
имеющий длину ka, и направление, которого:
1. совпадает с направлением вектора , если k > 0;
2. противоположно направлению вектора , если k < 0;
3. произвольно, если k = 0.
Свойства умножения вектора на число.
1о. (k + l) = k + l .
k( + ) = k + k .
2o. k(l ) = (kl) .
3o. 1× = , (–1) × = – , 0 × = .
Свойства сложения
1о. + = + (переместительный закон).
2о. + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (сочетательный закон).
3о. + (– ) + .
Свойства умножения вектора на число.
1о. (k + l) = k + l .
k( + ) = k + k .
2o. k(l ) = (kl) .
3o. 1× = , (–1) × = – , 0 × = .
ЛЗ система векторов.
Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной комбинации.
Определение. Система векторов называется линейно-зависимой, если хоть один вектор системы может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-независимой.
Пример. Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор .
ЛНЗ система векторов.
Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов.
Коллинеарность и компланарность векторов.
Опр. Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Теорема. Два ненулевых вектора и коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е.
= k , k – скаляр.
Опр. Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.
Теорема. Три ненулевых вектора , , компланарны, Û когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.
= k + l , k ,l – скаляры.
Базис системы векторов.
Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.
Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной
комбинации.
Пример. .
Определение. Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .
Определение базиса. Система векторов образует базис, если:
1) она линейно-независима,
2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.
Пример 1) Базис пространства : .
Пример 2) В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .