Лекции по оптике и ядерной физике

Тема 2. Дифракция света

§ 1. Принцип Гюйгенса – Френеля

Дифракция света – это явление огибания лучами света контура непрозрачных тел, т.е. отклонение от законов геометрической оптики.

Отклонение света от прямолинейного распространения может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса, однако он не позволяет рассчитать амплитуду результирующей световой волны. О.Френель существенно развил принцип Гюйгенса, выдвинув следующие основные положения:

1.Источник S0 можно заменить эквивалентной ему системой вторичных источников – малых участков dS замкнутой поверхности S, охватывающей источник

S0.

2.Вторичные источники когерентны, поэтому возбуждаемые ими волны интерферируют.

3.Амплитуды колебаний, возбуждаемых в рассматриваемой точке пространства вторичными источниками, пропорциональны площади dS вторичных источни-

ков и уменьшаются с увеличением угла α между внешней нормалью n к волновой поверхности и направлением излучения и становится равными нулю при

α≥ π2 (вторичные источники назад не излучают).

§2. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии

						О.Френель предложил упрощенный
			bm = b + mλ / 2			метод расчёта интерференции вторичных
			D	b 3 = b + 3λ/2		волн – метод зон Френеля. Пусть на круг-
						лое отверстие радиуса r падает плоская
r			C
						монохроматическая волна (рис. 9).			Най-
			B					r
			A			дём амплитуду вектора E в точке P, рас-
			0	b	P	положенной	на	оси симметрии на рас-
				b 2 = b + 2λ/2		стоянии b от плоскости отверстия, причём
						0P = b>> λ, где λ – длина световой волны.
			b1	= b + λ/2		Разделим волновую поверхность в
						отверстии на кольцевые зоны так, чтобы
				Рис. 9		расстояния	от	соответствующих	точек
						двух соседних зон до точки P отличались

на λ/2, т.е.

AP = b1 = b + λ/2 , BP = b2 = b + 2λ/2 , CP = b3 = b + 3 λ/2,…, DP = bm = b +m λ/2.

Обладающие таким свойством зоны носят название зон Френеля.

11

В зависимости от вида волновой поверхности, зоны Френеля могут иметь различную форму. Если волна плоская, зоны также плоские, если волна сферическая – зоны Френеля представляют собой кольцевые зоны, выделенные на сферической поверхности.

Вычислим радиус любой m-й зоны Френеля. Из треугольника 0DP:

r2		λ 2	− b2 = mbλ +	m2λ2	.
	= b + m			4
m		2
Так как λ << b, членом с λ2 можно пренебречь ввиду его малости. Тогда
	rm =		mbλ .		(1.15)

В зависимости от расстояния b между отверстием и точкой наблюдения, различают дифракцию Френеля (дифракцию в сходящихся лучах) при b ≈ d2 / λ и дифракцию Фраунгофера (дифракцию в параллельных лучах) при b >> d2 / λ, где

d– диаметр отверстия.

Вслучае дифракции Френеля в отверстие размещается небольшое число зон Френеля, которые и определяют картину дифракции света. Так как разность хода

волн от двух соседних зон Френеля до точки P равна λ/2, то колебания, вызываемые в точке P соседними зонами, будут противоположны по фазе. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке P:

E = E1 − E2 + E3 − E4 + ... ± Em ,

(1.16)

где E1, E2,…,Em – амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке P каждой зоной Френеля в отдельности.

В соответствии с принципом Гюйгенса – Френеля амплитуда колебаний Em, возбуждаемых в точке P m-й зоной Френеля, пропорциональна площади зоны и уменьшается с увеличением угла αm между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку P. Так как площади зон примерно одинаковы, а угол αm возрастает с увеличением номера зоны, то с увеличением m амплитуда Em уменьша-

ется, т.е. E1>E2>E3>…>Em . Перепишем формулу (1.16) в виде:

	E =		E			E	− E2			+		E					E		− E4			+		E			+ ... +		E	m , m – нечётное;
				1	+	1							3			+		3							5
				2		2						2					2							2					2
E =	E	+		E	− E2		+	E					E			− E4			+	E			+ ...			+	E		− Em , m – чётное. (1.17)
	1			1					3		+				3						5							m−1
	2			2				2						2						2								2

Так как λ << b, то амплитуды колебаний Ei и Ei-1, возбуждаемые соседними зонами, мало отличаются друг от друга и можно считать, что

E2i−1 + E2i+1 = Ei , Em2−1 − Em = − E2m .

Тогда выражения, стоящие в скобках в формуле (1.17) обращаются в нуль и формулу (1.17) можно записать в виде:

12

E =	E1	±	Em	,	(1.18)
	2
		2

где «+», если m – нечётное; «–», если m – чётное.

Из формулы (1.18) видно, что когда в отверстии укладывается нечётное число зон Френеля, в точке P наблюдается интерференционный максимум, когда чётное – минимум. Если радиус отверстия велик, так что Em<< E, то формула

	(1.18) для большого или бесконечно большого отверстия принимает вид:
	E∞	=	E1		(1.19)
			2

В этом случае амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке P источником света, равна половине амплитуды, возбуждаемой только одной первой зоной Френеля, т.е. на экране никакой интерференционной картины не будет.

Выводы:

1. Число зон Френеля m и, следовательно, результат интерференции в точке P зависит от размера отверстия и расстояния b.

2. Если размеры отверстия велики или волновой фронт полностью открыт, дифракции не наблюдается, можно говорить о прямолинейном распространении света.

				§ 3. Дифракция Фраунгофера на щели
	a					Пусть на щель, ширина которой a, падает
A			B			нормально плоская монохроматическая волна.
						Для наблюдения дифракции параллельные лучи
	ϕ
		C	∆		λ/ 2	должны сходиться вместе, поэтому за щелью по-
ϕ						мещают собирающую линзу, а в её фокальной
						плоскости – экран (рис. 10). Определим результат

интерференции вторичных волн, идущих от точек щели под некоторым произвольным углом ϕ к

		первоначальному направлению. Угол ϕ называется
		углом дифракции. Проведём плоскость AC, пер-
		пендикулярную направлению лучей. Оптические
P	x длины пути лучей от плоскости AC до точки P
	0	одинаковы, так как лучи, которые проходят мень-
	I	шее расстояние в			воздухе,		проходят		большее
	x	расстояние в оптически более плотной среде –
		стекле линзы. Оптическую разность хода лучей от
	0	точек	А	и	В	определяет		расстояние
	Рис. 10	BC = a sin .ϕ = ∆.

13

Разделим расстояние BC = ∆ на отрезки длиной λ/2 и через их концы проведём плоскости, параллельные плоскости AC. Таким образом, поверхность щели будет разделена на ряд плоских, равных по ширине полосок (на рисунке их 3). Это будут зоны Френеля, так как разность хода лучей до точки P от соответствующих точек двух соседних полосок равна λ/2. Из построения следует, что число зон Френеля определяется отношением 2∆ / λ.

Колебания, возбуждаемые в точке P двумя соседними зонами, будут одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе и потому погасят друг друга. Такой же результат будет, если число зон Френеля чётное, т.е. 2∆/ λ = 2m . Тогда

∆ = a. sin .ϕ = ±.2m	λ	= ±mλ , (m = 1, 2, 3, …) .	(1.20а)
	2

Это условие получения минимума от щели. Если число зон Френеля нечётное, колебания одной зоны останутся нескомпенсированными и, следовательно, условие получения максимума от щели имеет вид:

∆ = a. sin .ϕ = ±.(2m +1)	λ	, (m = 0, 1, 2, 3, …) .	(1.21)
	2

Таким образом, при падении на щель плоских монохроматических волн, картина на экране будет заключаться в чередовании тёмных и светлых полос, симметрично расположенных относительно центрального максимума.

В точке 0 будет наблюдаться центральный максимум нулевого порядка. Интенсивность его самая большая, так как колебания, возбуждаемые в точке 0 любыми участками щели, совершаются в одной фазе. Интенсивность света в боковых максимумах резко убывает (см. рис.10).

§ 4. Дифракционная решётка

2(a+b)

b a b

ϕ ∆ 2∆

ϕ

х

P	Э
	Рис. 11

фокальной плоскости линзы.

Дифракционной решёткой называется совокупность большого числа одинаковых узких параллельных щелей, находящихся на равных расстояниях друг от друга.

Ширину щели обозначим a, ширину непрозрачного промежутка (штриха) b, тогда величина (a+b) = d называется периодом или постоянной дифракционной решётки (рис. 11). Расстояние между штрихами мало, лучшие дифракционные решётки имеют до 6000 штрихов на 1 мм.

Рассмотрим случай нормального падения на решётку плоской монохроматической волны. Каждая щель в отдельности даёт дифракционную картину, которую мы уже рассмотрели. При этом положение максимумов и минимумов не зависит от положения щели на решётке, так как лучи, идущие под определённым углом ϕ, сходятся в одной точке в

14

Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна их щелей не распространяет свет, будут наблюдаться минимумы интенсивности, которые называются главными минимумами и которые определяются из условия (1.20а):

a. sin .ϕ = ±mλ, (m = 1, 2, 3, …).

(1.20б)

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых разными щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга и возникнут дополнительные минимумы, а в некоторых направлениях, наоборот, будут усиливать друг друга. Из рис. 11 видно, что оптическая разность ходя лучей, посылаемых 1-й и 2-й щелями равна ∆ = (a + b). sin .ϕ, 1-й и 3-й щелями:

2∆ = 2.(a +b). sin .ϕ, 1-й и 4-й щелями: 3∆ = 3.(a +b). sin .ϕ и т.д.

Таким образом, согласно формуле (1.9), условие получения максимума интенсивности света от дифракционной решётки:

	∆ = (a +b). sin .ϕ = d. sin .ϕ = ±mλ , (m = 0, 1, 2, 3, …).		(1.22)
I		Максимумы, удовлетворяющие	условию
		(1.22), получили название главных максимумов,
		так как кроме них имеются ещё дополнительные
0	x	максимумы гораздо меньшей интенсивности. На
		рис. 12 показана примерная дифракционная карти-
I		на от одной и четырёх щелей. Чем больше щелей
		N, тем более интенсивными и более острыми будут
		максимумы. При освещении решётки белым све-
		том в центре экрана будет наблюдаться максимум
0	x для всех длин волн, поэтому центральный макси-
		мум будет неокрашенным. Из условия (1.22) вид-
Рис. 12
		но, что остальные максимумы для разных длин
		волн будут наблюдаться под разными углами, т.е.

решётка разлагает белый свет в спектр.

Разрешающей способностью дифракционной решётки называется её способность разделять близкие спектральные линии с длинами волн λ и λ + ∆λ. Ко-

личественной мерой разрешающей способности является отношение:

	R =	λ	= mN ,	(1.23)
		∆λ

где N – общее число щелей дифракционной решётки, m – порядок спектра.

Дифракция находит применение для спектрального анализа различных видов излучения и на основе этого определения качественного и количественного состава вещества, для рентгено-структурного анализа строения кристаллов различных веществ, в голографии.

15

§ 5. Понятие о голографии

Голография – метод получения объемного изображения объекта, изобре-

тенный Д. Габором в 1948 г. Он предложил с помощью фотопластинки регистрировать не только амплитуды, как при обычном фотографировании, но и фазы рассеянных объектом волн, воспользовавшись для этого явлением интерференции. Практическое осуществление идеи Д. Габора стало возможным в начале 60-х годов после создания когерентных источников света –

	З						лазеров. Суть метода поясняется на рис. 13а. Луч
							света от лазера делится на две части: одна часть от-
							ражается зеркалом З на фотопластинку Ф (это опор-
							ная волна), другая часть попадает на фотопластинку
	П					Ф	Ф, отразившись от предмета П (предметная волна).
							Опорная и предметная волны, являясь когерентны-
					а)		ми, накладываются на фотопластинке Ф и интерфе-
							рируют. Интерференционную картину, зафиксиро-
							ванную на фотопластинке, называют голограммой
	З						объекта. Она представляет собой мелкий замыслова-
							тый узор из чередующихся областей различного по-
					Д		чернения эмульсии. Для восстановления изображе-
							ния голограмма помещается в то же самое положе-
	П′					Ф	ние (рис. 13б), где она находилась при регистрации.
							Ее освещают опорным лучом того же лазера, причем
							вторая часть лазерного луча перекрывается диа-
					б)		фрагмой Д. В результате дифракции света на интер-
					Рис. 13		ференционной структуре голограммы восстанавли-
							вается копия предметной волны, образующая объ-

емное мнимое изображение предмета П′, расположенное в том же месте, где предмет находился при голографировании. Перемещая голову вдоль голограммы, наблюдатель может «заглянуть за предмет» и увидеть более удаленный предмет, закрытый ближним предметом. Если голограмма случайно разбилась, с помощью даже малого сохранившегося осколка можно получить изображение всего объекта, хотя и менее яркое и четкое. Пользуясь тремя разными лазерами с лучами трех основных цветов (красным, зеленым, синим), можно получить цветное голографическое изображение предмета.

Ю.Н. Денисюк в 1962 г. впервые получил объемные голограммы, используя для этого толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы ведут себя подобно пространственным дифракционным решеткам. Они способны выделять из белого света свет той длины волны или тех нескольких длин волн, которые были использованы при получении голограммы. Для восстановления изображения, записанного в виде объемной голограммы, ее достаточно осветить белым светом. Применение голографии перспективно для создания систем цветного голографического кино и телевидения, создания емких систем хранения информации и ее кодирования.

16

Тема 3. Поляризация света

§ 1. Поляризованный свет

Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний свето-

вого вектора Е упорядочены каким-либо образом. r

Плоскость, в которой происходят колебания вектора Е, называется плоскостью поляризации.

Свет, в котором вектор Е колеблется строго в определенной плоскости,

называется плоскополяризованным. В частности, волны одного цуга плоскополяризованы.

Атомы светящегося тела излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозможными равновероятными направлениями колебаний светового вектора.

Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е называется естественным.

Еслиrв световой волне имеется преимущественное направление колебаний вектора Е, свет называется частично поляризованным. Его можно рассматри-

вать как смесь естественного и плоскополяризованного.
а)	б)	в)

плоскополяризованный	естественный	частично
свет	свет	поляризованный свет

Рис. 14

На рис. 14 показаны направления колебаний вектора Е в плоскости, перпендикулярной направлению распространения луча.

§ 2. Закон Малюса

Плоскополяризованный свет получают с помощью поляризаторов. Поляри-

заторы – это устройства, свободно пропускающие колебания вектора Е, параллельные некоторой плоскости, называемой главной плоскостью поляризатора.

Если направление колебаний вектора Е0 образует угол ϕ с этой плоскостью,

то поляризатор пропустит составляющую вектора, параллельную главной плоскости поляризатора (рис. 15).

Е = Е|| = Е0 cos ϕ	или	Е2 = Е02 cos2 ϕ.
Следовательно, при ϕ = 900, Е = 0.

17

главная плоскость поляризатора

	r
Е0	Е0 ϕ	Е||	Е
			х

Рис. 15

Согласно формуле (1.7) интенсивность света I пропорциональна Е2, тогда

I = I0 cos2 ϕ,			(1.24)
где I0, I – интенсивности света до и после поляризатора. Это и есть закон Малюса.
В естественном свете угол ϕ непре-		cos2
рывно меняет свое значение, поэтому целе-			ϕ
сообразно рассматривать среднее по вре-		1
мени значение множителя cos2 ϕ, которое	1/2
равно < cos2 ϕ> = 1/2, так как функция cos2
ϕ имеет вид (рис. 16).			t
Таким образом, при падении естест-
			Рис. 16
венного света на поляризатор, формула
(1.24) принимает вид:
I = 1 Iест		,	(1.25)
2

где Iест, I – интенсивности естественного и прошедшего через поляризатор света.

Поставим на пути естественного луча два поляризатора так, чтобы главные плоскости поляризаторов образовали угол ϕ. Второй поляризатор называют обычно анализатором. Согласно закону Малюса после первого поляризатора вый-

дет свет с интенсивностью I1 = 12 Iест, после второго

I = 12 Iест cos2 ϕ .

При этом интенсивность I максимальна, если ϕ = 0. При ϕ = π/2 интенсивность I равна 0, т.е. скрещенные под углом 900 поляризаторы света не пропускают.

В общем случае при прохождении через поляризатор часть света поглощается и часть отражается. Введем коэффициент пропускания Кп, учитывающий

18

суммарно эти потери. Например, если при падении на поляризатор 5% света поглощается и отражается, то Кп =0,95. С учетом потерь, закон Малюса имеет вид:

I = I0Кп cos2 .ϕ.

(1.26)

§ 3. Закон Брюстера

Для характеристики поляризации пользуются величиной, называемой степенью поляризации

p = Imax −Imin , Imax +Imin

где Imax и Imin – максимальная и минимальная интенсивности, получаемые при

пропускании света через поляризатор при его вращении. Для плоскополяризованного света p =1, для естественного p = 0 .

Произвольную плоскую монохроматическую волну можно представить в виде совокупности двух волн той же частоты, которые плоскополяризованы во вза- имно-перпендикулярных плоскостях – р-волну и s-волну.

При паденииr волны на границу раздела сред связь между амплитудами коле-

баний вектора E в падающей Е0, отраженной Еотр и преломленной Епр волнах в случае р- и s-волн выражается формулами Френеля, которые можно получить из уравнений Максвелла с учетом граничных условий:

	отр	0	tg.(i −r)	;
	Ер	= −Ер	tg.(i +r)
	Ерпр = Ер0	2. cos.i. sin .r			;
		sin .(i + r). cos.(i −r)

Еотр = −Е0 sin .(i −r) ; s s sin .(i +r)

Епр = Е0 2. cos .i. sin .r . s s sin .(i + r)

Согласно формуле (1.11), если n2 > n1, то i > r. Тогда sin (i – r) > 0, tg (i – r) >0, и при условии, что (i + r) < π/2, отраженные волны Еротр и Еsотр будут в противофазе с падающими Ер0 и Еs0 , т.е. при отражении от оптически более плотной среды фаза колебаний меняется на π. При отражении от оптически менее плотной среды sin (i – r) < 0, tg (i – r) < 0, т.е. фазы отраженных волн будут совпадать с фазой падающей волны. Так как косинус – функция четная, cos (i – r) > 0 всегда, поэтомуrпреломленные волны всегда в фазе с падающей волной. Фаза

колебаний вектора Н при отражении от оптически более плотной среды не меняется, а при отражении от оптически менее плотной – меняется на π.

19

Из формул Френеля видно, что при падении света на границу раздела двух диэлектриков (например, воздух – стекло) отраженный и преломленный лучи будут частичноr поляризованы (рис. 17). В отраженном луче преобладают

колебания вектора E, перпендикулярные к плоскости падения (точки), в преломленном – параллельные плоскости падения (стрелки).

i	iБ iБ
n1
n2
r	r
Рис. 17	Рис. 18

Степень поляризации определяется углом падения. При некотором угле падения, называемом углом Брюстера iБ , отраженный свет полностью поляризован.

В этом случае степень поляризации преломленного луча достигает максимального значения, но этот луч остается поляризованным только частично (рис. 18). Если свет падает под углом Брюстера i = iБ , то преломленный и отраженный

лучи взаимно перпендикулярны. Это означает, что iБ +r = π2 . Тогда sin r = sin (π2 −iБ) = cos iБ

и формула (1.11) принимает вид:	= n2 .
tg iБ = n21		(1.27)
	n1

Это закон Брюстера. Из формул Френеля видно, что при i = iБ tg.(iБ +r) = tg π2 = ∞,

Eотрp = 0, т.е. р-волна не отражается от поверхности раздела сред, а отражается только s-волна, следовательно, отраженный луч будет полностью поляризован.

§ 4. Двойное лучепреломление

При прохождении света через некоторые кристаллы (например, исландский шпат, кварц, турмалин и т.д.) наблюдается так называемое двойное лучепреломление. Упавший на кристалл луч разделяется внутри кристалла на два луча, которые распространяются с разными скоростями. Один из этих лучей подчиняется обычному закону преломления и называется обыкновенным о – это s-волна, другой не подчиняется и называется необыкновенным е – это р-волна. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч отклоняется от нормали. У кристаллов имеется направление, вдоль которого лучи о и е распростра-

20