Лекции по оптике и ядерной физике

§ 4. Квантование энергии. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шрёдингера, имеют решения не при любых значениях параметра W , а лишь при так называемых собственных значениях параметра. Функции ψ, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера, называются собствен-

ными функциями. Решение уравнения Шрёдингера в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. Рассмотрим пример, позволяющий достаточно просто решить это уравнение.

U			Допустим, что электрон	движется в потенциальном
			поле, изображенном на рис. 34. При этом потенциаль-
		x	ная энергия электрона имеет следующие значения:
х=0	x =l		U =0 при 0 ≤x ≤l ;	U = ∞ при x <0 и x >l .
Рис. 34			Подобное поле называется “потенциальной ямой”.
			Примером движения	электрона в “потенциальной

яме” может служить движение свободного электрона внутри металла. Вне металла потенциальная энергия электрона считается равной нулю, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода электрона из металла. Применим к электрону, движущемуся в “потенциальной яме” уравнение Шрёдингера,

	учитывая, что для одномерной задачи ∆ψ =				∂2	ψ	:
					∂x2
	∂2ψ		2m
		+		(W −U)ψ = 0 .
	∂x2		h2

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может, поэтому вероятность обнаружить частицу, а, следовательно, и функция ψ за пределами ямы рав-

на нулю. Из условия непрерывности следует, что функция ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е.:

ψ(0) =0 ;

ψ(l) =0 .

(3.9)

Выражения (3.9) и определяют те условия, которым должны удовлетворять решения данного уравнения. Внутри ямы U =0 и уравнение для этой области принимает вид:

		∂2ψ	+		2m	Wψ=0 .	(3.10)
		∂x2			h2
Введя обозначение	2mW			=k2 ,			(3.11)
		h2

получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний:

ψ&& +k2ψ = 0 .

41

Решения такого уравнения имеют вид:

ψ(x) = A..sin..(kx +α) .

Здесь k имеет смысл волнового числа волны де Бройля для электрона. Условия (3.9) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и α. Преж-

де всего из условия ψ(0) =0 , получаем:
ψ(0) = A..sin..α = 0 α=0.
Выполнение условия ψ(l) = A..sin kl = 0 возможно лишь в случае, если
kl =±nπ (n =1, 2, 3K)	(3.12)
( A = 0, n = 0 отпадают, так как при этом получается,	что ψ≡0 , т.е. частица ни-
где не находится).
Из уравнений (3.11) и (3.12) получим:

	k2 =	2mW			=	n2	π2
				n			,
			h	2		l2
отсюда	W =		n2π2h2			,	(3.13)
	n		2ml		2
где n =1, 2, 3K – квантовое число,			Wn		– значения энергии, соответствующие
различным числам n .
Вывод: решения уравнения (3.10) будут иметь физический смысл не при
всех значениях энергии	W , а лишь при дискретных значениях Wn , удовлетво-

ряющих равенству (3.13). Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными.

Таким образом, энергия электрона, находящегося в потенциальной яме, является квантованной. Каждому значению квантового числа n соответствует определенный уровень энергии Wn или энергетический уровень.

42

Тема 2. Элементы современной физики атомов и молекул

§1. Атом водорода

Ватоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия элек-

трона:

U = − Ze2 , 4πε0r

где Ze – заряд ядра;

r – расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:

∆ψ + 2m (W + Ze2 )ψ = 0 .

h2 4πε0r

Уравнение (3.15) имеет решения только при собственных значениях энергии

(3.14)

(3.15)

W = −	1	R h Z2 ,	(3.16)
n	n2

где R – постоянная Ридберга,

n =1, 2, 3,K – квантовое число.

Функция U(r), рассчитанная по формуле (3.14) показана на рис. 35. На рис. 35 показаны также возможные дискретные значения энергии Wn , рассчитанные по формуле (3.16):

W, U		Уровень W1 , отвечающий минимально воз-
	W >0	можной энергии – основной, все остальные –
0		r возбужденные. При W < 0 электрон находит-
Wn		ся внутри гиперболической потенциальной
		ямы, он является “связанным”. Из рис. 35 сле-
W3
		дует, что по мере роста числа n энергетиче-
W2		ские уровни располагаются теснее и	при
		n = ∞ W∞ = 0 . При W > 0 движение	элек-
W1		трона является “свободным” – он может уйти
		в бесконечность. Это соответствует ионизиро-

ванному атому.

Рис. 35

§2. Квантовые числа

Вквантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции ψnlm , определяемые тремя квантовыми числами:

главным n, орбитальным l и магнитным m.

43

Главное квантовое число n, согласно формуле (3.13),определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы: n =1, 2, 3,K.

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что механический орбитальный момент импульса электрона (далее просто момент импульса) квантуется, т.е. принимает дискретные значения, определяемые формулой

L = h l (l +1) .

(3.17)

Здесь

чения

z

2h

h

0

h

2h

l – орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает зна-

l = 0, 1,K(n −1).

m =2

r m =1

L

m =0

m =−1 m =−2

Рис. 36

При этом вектор L момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Lz на направление z внеш-

него магнитного поля принимает квантованные значения, кратные h:

Lz =hm ,

(3.18)

где m – магнитное квантовое число, имеющее значения m = 0, ±1, ± 2,K± l (всего 2l +r1значений).

Возможные направления вектора L относительно оси z для случая l = 2 показаны на рис. 36. Это так называемое пространственное квантование.

§ 3. Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число

Допустим, что электрон в атоме движется по орбите радиуса r . Магнитный момент создаваемого электроном тока

r	r					pm = is = eνπr2 ,
	V	r	где ν – частота вращения электрона.
L							υ= 2πrν. В то же
		r	Скорость движения электрона
	i	pm	время движущийся по орбите электрон обладает момен-
			том импульса, направление которого противоположно
	Рис.	37	направлению магнитного момента				(см. рис. 37).
			В соответствии с формулой L = meυr
			L = me	2πr2 ν = 2pmme .
						e
Отсюда			pm =		eL	.	(3.19)
					2me

44

Так как момент импульса квантуется (см. формулу (3.17)) должен квантоваться и магнитный момент. Для проверки этого в 1922 г. О. Штерном и В. Герлахом был поставлен опыт, идея которого состоит в следующем.

		dF			В неоднородном магнитном поле на каждый эле-
					мент контура с током, создаваемым электроном,
		dFr		r	будет действовать сила dF B (рис. 38). Состав-
		c		B	ляющая силы dF , сдвигает атом в сторону увели-
				r	c
	i				чения или ослабления поля (это зависит от ориен-
				pm	тации вектора магнитного момента pm ). Схема
				r
					опыта показана на рис. 39. В трубке, где был создан
		r		B
		dF			вакуум, помещался источник атомов K – нагревае-
		rc			мый до высокой температуры серебряный шарик.
		dF			Из потока атомов с помощью щелевых диафрагм D
	Рис. 38				вырезался узкий пучок, проходящий через сильное
					неоднородное магнитное поле, направленное пер-
					пендикулярно пучку и создаваемое специальным
		N		F	электромагнитом SN . Приемником атомов серебра
	D D				служила фотопластинка F . Опыт Штерна и Герлаха
K					подтвердил пространственное квантование магнит-
					ного момента атома, но имел ещё и неожиданные
		S
					результаты: атомный пучок расщеплялся на две
					компоненты и в том случае, когда атомы нахо-
	Рис. 39				дились в основном состоянии, в котором l =0; в
					этом случае в соответствии с формулами (3.17),
					(3.19) L =0, pm =0 и атомный пучок не должен

был раздваиваться.

Для объяснения этих результатов Дж. Уленбек и С. Гаудсмит в 1925 г. вы-

двинулиrгипотезу о том, что у электрона кроме орбитального магнитного момента pm имеется собственный магнитный момент pms и соответствующий

ему собственный механический момент импульса Ls , называемый спином элек-

трона. Спин является таким же неотъемлемым свойством электрона как его заряд и масса.

Из общих выводов квантовой механики следует, что спин Ls и его проекция на ось z Lsz должны быть квантованы (сравните с формулами (3.17), (3.18)):

Ls = h s(s +1) ;

Lsz = msh

r

и вектор Ls может иметь 2s +1 различных ориентаций в магнитном поле. Опыт Штерна и Герлаха показывает, что для спина электрона таких ориентаций суще-

ствует всего две, так что 2s +1 = 2 и s = 1	. Число s называется спиновым кван-
2

45

товым числом, a ms – магнитным спиновым квантовым числом, которое в от-

личие от s может принимать два значения: ms = ± 12 . Однако часто числа s и

ms не различают и говорят о спиновом квантовом числе ms = ± 12 . Предположе-

ние о спине было подтверждено большим количеством опытных данных. Оно позволило объяснить магнитные свойства ферромагнетиков и создать современную теорию ферромагнетизма.

§ 4. Принцип Паули

Хотя энергия электрона зависит только от главного квантового числа n (формула (3.13)), каждому значению Wn (кроме W1 ) соответствует несколько

волновых функций ψnlm , отличающихся значениями квантовых чисел l и m .

Следовательно, электрон в атоме может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Количество таких состояний опреде-

ляется принципом Паули: в одном и том же атоме не может быть двух электронов, обладающих одинаковой совокупностью четырех квантовых чисел: n , l , m , ms .

Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, называется электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны подразделяются по подоболочкам, соответствующим данному значению l . Состояние электрона в атоме часто обозначают двумя индексами: значением n и буквой, отвечающей значению l , например:

1s (n =1; l = 0);	2s (n = 2; l = 0)
2p (n = 2; l =1);	3d (n = 3; l = 2) и т.д.

В соответствии с принципом Паули, учитывая, что квантовые числа могут принимать значения (см. формулы (3.17),(3.18)): l = 0, 1,K(n −1) и

m = 0, ±1, ± 2,K± l , а число ms может иметь два значения, расположение электронов по оболочкам и подоболочкам представим в виде табл. 1:

46

									Таблица 1
Уровень	Символ		Квантовые числа				Символ	Максимальное кол-во
энергии	оболоч-						подоболочки	электронов
	ки
		n		l	m	ms		в подоб-ке	в обол-ке
W1	К	1		0	0	↑↓	1s	2	2
				0	0	↑↓	2s	2
W2	L	2		1	– 1	↑↓		6	8
					0	↑↓	2p
					+ 1	↑↓
				0	0	↑↓	3s	2
					– 2	↑↓	3p
				1	– 1	↑↓		6
W3	М	3			0	↑↓			18
					– 2	↑↓
					– 1	↑↓	3d	10
				2	0	↑↓
					+1	↑↓
					+2	↑↓

и т.д.

Принцип Паули сыграл большую роль в развитии современной атомной и ядерной физики, без него невозможно создание теории твердого тела, с его помощью была теоретически обоснована периодическая система элементов Менделеева. Проследим построение этой системы. Будем считать, что каждый последующий элемент образован из предыдущего путем прибавления к ядру одного протона и соответственно прибавления одного электрона в электронной оболочке атома с учетом принципа Паули (см. табл. 2):

									Таблица 2
Период	Заряд	Элемент		Оболочки и подоболочки
			К	L				М
	ядра
			1s	2s		2p	3s	3p	3d
I	1	H	1
	2	He	2
	3	Li	2	1
	4	Be	2	2
II	5	B	2	2		1
	…	…	…	…		…
	10	Ne	2	2		6
III	11	Na	2	2		6	1
		…	…	…		…	…	…	…

47

Тема 3. Вынужденное излучение

§ 1. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения

Если атом находится в основном состоянии с энергией W1 , то под действием

внешнего излучения может осуществиться переход его в возбужденное состояние с энергией W2 , приводящий к поглощению внешнего излучения (рис. 40а). Время

	а) поглощение						нахождения атома в возбужденном состоянии
							порядка 10−8 с, после чего он самопроизвольно
				W2			переходит в нормальное, невозбужденное со-
	hν
							стояние,	излучая	квант света	с	энергией
				W1			hν = W2 − W1 . Такое излучение				называется
							спонтанным (рис. 40б). Оно не когерентно, так
	б) спонтанное излучение
							как спонтанные переходы взаимно не связаны. В
					W2		1916 г. А. Эйнштейн показал, что если на атом,
					hν		находящийся в возбужденном состоянии, дейст-
							вует внешнее излучение с частотой, удовлетво-
					W1
							ряющей	условию	hν = W2 − W1 ,	то	возникает
	в) вынужденное излучение						вынужденный переход в основное состояние.
						W
						2	При этом происходит излучение атомом фотона
					hν		дополнительно к тому фотону, под действием
	hν				hν		которого произошел переход. Это так называе-
							мое вынужденное излучение			(рис 40в). А.
						W1	Эйнштейн и П. Дирак показали, что вынужден-
			Рис. 40				ное излучение строго когерентно с вынуждаю-
							щим, т.е. оно имеет такую же частоту, фазу, по-
							ляризацию и направление излучения.

Эффект вынужденного излучения лежит в основе квантового генератора электромагнитных волн, за разработку которого советским физикам Н.Г. Басову, А.М. Прохорову и американцу Ч. Таунсу присуждена Нобелевская премия в

1964г.

§ 2. Принцип работы оптического квантового генератора (ОКГ) – лазера

LAZER – первые буквы английского названия “усиление света с помощью вынужденного излучения”. Первый лазер был создан в 1960 г. Рабочим телом лазера был цилиндр из рубина. На торцы рубина наносятся зеркала – с одной стороны непрозрачное, с другой – полупрозрачное. Рубин представляет собой окись алюминия Al2O3 , окрашенную примесью хрома. Активным веществом, в кото-

ром осуществляются вынужденные переходы, являются в рубине ионы хрома. В лазере рубин освещается импульсной ксеноновой лампой. До начала импульса освещения, ионы хрома находятся в основном состоянии. Свет лампы переводит большинство ионов хрома в возбужденное состояние. Процесс начинает развиваться, когда возбужденные ионы, переходя в нормальное состояние, спонтанно

48

а)

1 Рубин

б)	В
1	А
	С
в)
1

г)

1

Рис. 41

излучают фотоны в направлении, параллельном оси активной среды (фотон А на рис.

241). Фотоны, испущенные по другим направлениям, выходят из кристалла (фотоны

Ви С). Фотон А, движущийся параллель-

но оси активной среды, рождает лавину фо-

2тонов, летящих в том же направлении. Часть этой лавины пройдет через полупрозрачное зеркало 2 наружу, а часть отразится и будет

		нарастать в активной среде. После отраже-
		ния от зеркала 1 усиленный поток фотонов
	2	будет двигаться так же, как и первоначаль-
		ный фотон А. Многократно усиленный по-
		ток	фотонов, вышедший	из ОКГ сквозь
		полупрозрачное зеркало 2 создает луч света
2		большой интенсивности.
			Кроме рассмотренного	твердотельного

ОКГ в настоящее время разработано много других типов лазеров (из наиболее известных 17 типов): газовые, ионные, на парах металлов, молекулярные (СО2 ,СО), полу-

проводниковые и т.д. Последние имеют очень малые размеры. Лазеры могут работать как в импульсном, так и в непрерывном режимах в широком диапазоне длин волн: от рентгеновского до инфракрасного.

Свойства лазерного излучения:

1.Когерентность.

2.Монохроматичность.

3.Возможность получения большой мощности излучения (1013 Вт и более).

4.Малое угловое расхождение луча.

Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее время очень широкое применение, в частности:

–в волоконно-оптических линиях связи,

–в военном деле,

–в хирургии,

–для обработки твердых материалов,

–для создания сверхвысоких температур, и др. применения.

49

Тема 4. Элементы квантовой физики твердого тела

§ 1. Понятие о зонной теории твердого тела

1. Энергетические зоны.

Зонная теория квантовой механики твердых тел позволяет с единой точки зрения объяснить электрические, тепловые и др. свойства этих тел. Пока атомы вещества изолированы друг от друга, они обладают дискретными энергетическими уровнями. Объединение N атомов в кристалл приводит к тому, что энергетические уровни атомов расщепляются и расширяются в зоны.

Определим ширину энергетического уровня в изолированном атоме. Время нахождения электрона в возбужденном состоянии, т.е. на новом энергетическом

уровне, ∆t ≈10−8 c . Воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга для энергии (формула (3.4)) ∆W∆t ≥h и найдем неопределенность в энергетическом состоянии электрона

	∆W =	h	=		6,62 10−34	≈ 4 10−7 эВ.
		∆t		1,6 10−19 10−8

Аналогичный расчет произведем и для твердого тела. В кристалле валентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому. Это приводит к тому, что среднее время жизни τ валентного электрона в данном атоме существенно уменьшается и составляет

примерно 10−15 c . Тогда неопределенность в значении энергии таких электронов:

	∆W =	h	=		6,62 10−34			≈ 4 эВ.
		τ		1,6 10−19			10−15

Следовательно, ширина энергетической зоны атома в кристалле примерно в 107 раз больше естественной ширины энергетического уровня в изолированном атоме. Однако такое большое расширение энергетического уровня касается только

W			валентных	электронов.	Расширение
			энергетических уровней		внутренних
зоны			электронов несравненно меньше, так
		зоны	как для них величина потенциального
			барьера увеличивается и резко умень-
разрешенные		запрещенные
			шается вероятность перехода такого
			электрона от одного атома к другому
			(рис. 42).
			Зоны, образовавшиеся из дозво-
			ленных энергетических уровней, назы-
			ваются разрешенными зонами. Между
	Рис. 42		ними находятся энергетические про-
			межутки,	не имеющие	разрешенных

значений энергии. Эти промежутки называются запрещенными зонами. 2. Деление твердых тел на металлы, диэлектрики и полупроводники.

50