Лекции по оптике и ядерной физике

торой начальной скоростью и могут достигнуть анода без внешнего поля. Чтобы фототок стал равен нулю, надо приложить задерживающее напряжение Uз в обратном направлении. При таком напряжении всем электронам, даже обладающим при вылете наибольшим значением скорости υmax , не удается преодолеть задер-

живающее поле и достигнуть анода.

Поэтому, исходя из закона сохранения энергии, можно приравнять максимальную кинетическую энергию электроновWmax работе сил поля eU3 по их за-

держанию:

		mυ2
	W =	max	= eU3 ,	(2.12)
		2
	max

где e , m – заряд и масса электрона.

4. Из рис. 27 видно, что увеличение падающего потока не влияет на величину задерживающего потенциала.

Опытным путем установлены следующие три закона внешнего фотоэффекта: 1. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света величина фототока насыщения прямо пропорциональна падающему световому потоку.

Интенсивность света – это световой поток, проходящий через единичную площадку, перпендикулярную к направлению света. Поэтому число фотоэлектронов,

вырываемых из катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света.

2.Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

3.Для каждого вещества существует минимальная частота ν0 света, при

которой ещё возможен внешний фотоэффект. Эта минимальная частота ν0 (или максимальная длина волны λ0 ) зависит от химической природы вещества,

состояния его поверхности и называется красной границей фотоэффекта. Крас-

ной она называется потому, что для многих веществ находится в области красного света. Например, калий не дает фотоэффекта при освещении красным светом и начинает испускать фотоэлектроны, начиная с оранжевых лучей.

Второй и третий законы фотоэффекта находятся в противоречии с представлением классической физики о волновой природе света. Действительно, чем больше световой поток, тем больше энергия, переносимая световой волной, т.е. тем большую энергию должны были получать фотоэлектроны.

§ 2. Квантовая теория фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна

А. Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта объясняются, если предположить, что свет поглощается такими же порциями (квантами, фотонами), какими он по гипотезе Планка испускается. Согласно Эйнштейну, энергия фотона E =hν, полученная электроном, усваивается им целиком.

Рассмотрим с квантовой точки зрения фотоэффект в металлах. Электрон удерживается в металле притяжением положительных ионов кристаллической решетки. Для того, чтобы покинуть металл, электрон должен совершить работу

31

выхода Aвых. Если полученная электроном энергия E = hν > Aвых , то он при вы-

лете будет обладать кинетической энергией. Величина этой энергии максимальна, если электрон покидает металл с поверхности, а не с какой-то глубины. В этом случае в соответствии с законом сохранения энергии выполняется соотношение, которое называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

E = hν = Aвых + Wmax .

(2.13)

Из формулы Эйнштейна видно, что фотоэффект с поверхности данного вещества наблюдается только при частотах, удовлетворяющих условию hν ≥ Aвых .

Тогда красную границу фотоэффекта ( ν0 или λ0 ) можно определить из уравнения

hν0 = Aвых , т.е.

ν0

= Aвых ; λ0 =

hc

.

(2.14)

h

Aвых

Из формул (2.12) и (2.13) следует, что U3 является линейной функцией часто-

ты ν падающего света (рис. 28):

hν

Aвых

hν = Aвых +eU3 ;

U3

=

−

.

e

e

U3 = f.(ν )

с

U3

Точка

пересечения

осью абсцисс

( U3 = 0 )

дает

значение

красной границы фотоэффекта

ν0 . Экстра-

полируя прямую до пересечения с

осью

ординат, можно определить Aвых для дан-

0

ного металла.

ν0

На основе фотоэффекта работают

фо-

ν

− Aвых

тоэлементы – приемники излучения,

кото-

рые преобразуют энергию

излучения

в

e

электрическую.

Они используются в

раз-

Рис. 28

личных системах автоматизации, сигнали-

зации, связи и т.д. Кремневые фотоэлемен-

ты применяются для создания солнечных батарей.

32

Тема 3. Давление света. Эффект Комптона

§ 1. Масса и импульс фотона. Давление света

Для объяснения теплового излучения и фотоэффекта использована только одна характеристика фотона – его энергия E =hν. Помимо энергии, фотон обладает также массой и импульсом. Массу фотона можно вывести из закона взаимосвязи массы и энергии Е = mc2:

m =	E	=	hν	=	h	.	(2.15)
	c2		c2
					cλ

Фотон движется со скоростью света υ= c . Подстановка этого значения скорости

в формулу m =	m0	обращает знаменатель в нуль. Вместе с тем, согласно
	1 − υ2 c2

формуле (2.15) масса фотона имеет конечное значение. Это возможно лишь в том случае, если масса покоя фотона m0 равна нулю. Таким образом, фотон не имеет

массы покоя и может существовать, только двигаясь со скоростью c . Этим он отличается от таких частиц как электрон, протон и др.

С учетом формулы (2.15) импульс фотона:

P = mc =	hν	= h .	(2.16)
ф	c	λ

Из наличия у фотона импульса вытекает, что свет, падающий на какое-то тело, должен оказывать на это тело давление, равное импульсу, сообщаемому фотонами поверхности тела. Давление будет зависеть от того, поглощаются фотоны телом или отражаются отr него. Каждый из поглощенных фотонов передает по-

верхности свой импульс Pф . При отражении фотоны подобны абсолютно упругим шарикам (рис. 29). В этом случае, считая систему “фотон – поверхность” замкну-

той и, применяя закон сохранения импульса, получим: r

r

Pф1 = Pф2 + Pт ,

Pф1

r

где Pф1 , Pф2 – импульс фотона до и после

взаимодейст-

P

т

вия с поверхностью;

r

Pт – импульс, передаваемый телу фотоном.

Pф2

Тогда Pт = Pф1 − Pф2 или в проекциях на осьх:

х

Pт = Pф1 + Pф2 = 2Pф ,

r

Рис. 29

так как для упругого взаимодействия

Pф1

=

Pф2

= Pф.

Таким образом, с учетом формулы (2.16)

каждый

отра-

женный фотон передает телу импульс

2hν

, а каждый поглощенный

hν

.

c

c

33

Допустим, N – общее число фотонов, падающих на тело, n = SN∆t – число

фотонов, падающих на единицу поверхности тела в единицу времени. Если коэффициент отражения ρ, то с единицы площади за единицу времени отражается ρn

фотонов, а поглощается (1-ρ)n фотонов. По II закону Ньютона, давление света на

поверхность равно суммарному импульсу, который передают единице поверхности за одну секунду падающие фотоны. Следовательно, давление света на тело выражается формулой:

P = 2hcνρn + hcν(1 − ρ)n = (1 + ρ)hνcn .

Энергию света можно выразить через число фотонов:

W = EN = hvN .

На поверхность S за	время	∆t	падают			фотоны, находящиеся в объеме
V = S l =Sc ∆t . Тогда объемная плотность энергии:
	w	= W	=	hν N	= hvn .
				c S∆t
		V				c
Отсюда:	P = (1+ρ)w .					(2.17)
Экспериментально	давление		света
было доказано П.Н. Лебедевым в 1900 го-
ду. Идея опыта заключалась в том, что
свет направлялся на крылышки легкой
вертушки, одно из которых было зеркаль-
ным, а другое темным. Поворот вертушки
отмечался по отклонению светового зай-					1			2
чика от маленького зеркальца 3 (рис. 30).
Для зеркального крылышка 1		ρ≈1, для				3
зачерненного 2 ρ≈0 . Из формулы (2.17)

видно, что давление света на черное крылышко в два раза меньше, чем на зеркальное. Давление света измерялось по углу закручивания нити.

Рис. 30

§ 2. Эффект Комптона и его теория

Особенно отчетливо квантовые свойства электромагнитного излучения проявляются в явлении, которое было открыто в 1923 году и названо эффектом Комптона. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной

34

длины волны λ, содержатся также лучи большей длины волны λ′. Разность ∆λ = λ′− λ оказалась независящей от λ и от природы рассеивающего вещества. Схема опыта показана на рис. 31.

					Узкий	пучок		монохроматических
	РВ				рентгеновских			лучей падает на рас-
					сеивающее вещество РВ. Спектраль-
			θ		ный состав		рассеянного		излучения
				РC	исследовался с помощью				рентгенов-
					ского спектрографа РC . Эксперимен-
Рис. 31					тально	была	установлена		следующая
					закономерность:
					∆λ = λк(1−cos θ),				(2.18)

где θ – угол, образованный направлением рассеянного излучения с направлением первичного пучка; λк = 2,42 пм – комптоновская длина волны.

Комптон показал, что только с квантовой точки зрения можно объяснить данное явление. Пусть на первоначально покоящийся электрон в рассеивающем веществе падает фотон. Энергии и импульсы электрона и фотона до и после столкновения представлены следующим образом:

До столкновения

После столкновения

фотон

Е = hν; Pф

=

hν

Е′ = hν′; Pф′ =

hν′

c

c

электрон

Ее = m0c

2

;

Pe =0

Е′е = mc

2

′

; Pe = mυ

Электрон, который в эффекте Комптона приобретает импульс Pe′, называется электроном отдачи. Из закона сохранения импульса:

Pф = Pe′ + Pф′ .

Соответствующая векторная диаграмма имеет вид (рис. 32):

r

Pe′

Pф

θ Pф

Pф′

Рис. 32

Из закона сохранения энергии:

hν+m0c2 = hν′+mc2

35

или	mc = m0c + h(ν− ν′) .
		c
Возведем в квадрат:
	(mc)2 = (m0c)2 + 2m0h(ν −	hν 2				2h2	νν′	hν′			2
		ν′) +			−			+		.
						c2			c
			c

По теореме косинусов (рис. 32):

(р′е)2 = рф2

+ (р′ф)2 − 2рфр′ф cosθ

или

(mυ)

2

=

hν

2

hν′ 2

− 2

h2

νν′cosθ.

c

+

c2

c

Вычтем это равенство из предыдущего:

(mс)2 −(mυ)2 = m0c2 + 2m0h(ν − ν′) −

2h2νν′

(1 −cosθ).

c2

Из формулы m =

m0

следует,

что (mc)2 – (m υ)2 = m0c2. Тогда можно запи-

1 −

υ2

c2

сать:

2m0h(ν − ν′) =

2h2νν′

(1 −cosθ).

c2

с

с

Учитывая, что ν =

; ν′

=

и ∆λ = λ′ – λ, получим:

λ′

λ

∆λ =

h

(1 −cos θ).

m0c

Эта формула совпадает с эмпирической формулой (2.18), так как

h

=

6,62 10−34

= 2,42 пм= λк .

m0c

9,1 10−313 108

Рассматривая тепловое излучение, фотоэффект и эффект Комптона мы убедились в справедливости квантовых (корпускулярных) представлений о свойствах света. В то же время такие явления, как интерференция, дифракция, поляризация свидетельствуют о его волновых свойствах.

Таким образом, свет обнаруживает корпускулярно-волновой дуализм (двойственность).

36

РАЗДЕЛ III. ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ Тема 1. Элементы квантовой механики

§ 1. Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля. Опытное					обоснова-
ние корпускулярно-волнового дуализма вещества
Запишем формулу (2.15): m =	h	в виде:
	cλ
			h
		λ =		.	(3.1)
			mc

Эта формула отражает двойственную природу света, так как λ – характеристика волны, а mc – импульс фотона – характеристика корпускулы.

В 1924 году Луи де Бройль высказал гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету, но и частицам вещества. По его гипотезе с любой движущейся частицей, масса которой m и скорость движения υ, связан волновой процесс, длина волны которого определяется соотношением:

λ	Б	=	h	.	(3.2)
			mυ

Эти волны называются волнами де Бройля. Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии в классической физике.

Нужно было экспериментально доказать, что частицы вещества обладают волновыми свойствами, например, наблюдать их дифракцию. Это сделали в 1927 году американцы К. Дэвиссон и Л. Джермер, а также англичанин Дж. П. Томсон. Они наблюдали дифракцию электронов, используя в качестве дифракционной решетки пространственную решетку монокристалла никеля. За открытие волновой природы частиц де Бройлю, Дэвиссону и Томсону присуждена нобелевская премия.

§ 2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

	x		Э			Допустим, мы наблюдаем ди-
				x	x	фракцию электронов на щели ши-
			pr			риной ∆x (рис. 33). В момент
∆x						прохождения		электронов через
		ϕ		∆px		щель, их положение в направле-
r						нии	оси x определяется с точно-
p					I	стью до ширины щели, т.е. с точ-
						ностью ∆x . Вследствие дифрак-
						ции, электроны отклоняются от
						первоначального направления, и
			Рис. 33			большая их часть будет двигаться
						в	пределах	угла 2ϕ, соответст-

37

вующих положениям первых дифракционных минимумов. Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси x, (см. рис. 33 и формулу (2.16))

∆px = p sin.ϕ = hλ sin.ϕ.

В соответствии с формулой (1.19а) первый дифракционный минимум определяется из условия:

∆x sinϕ=λ,

где, в данном случае, λ – длина волны де Бройля. Перемножая два последних равенства, получим:

∆x ∆px =h .

Учитывая, что часть электронов попадает за пределы центрального максимума, получим соотношение неопределенностей, которое было сформулировано В. Гейзенбергом:

∆x ∆px ≥h .

(3.3)

Важно отметить, что неточности (неопределенности) в измерении величин ∆x и ∆px не связаны с несовершенством приборов, а обусловлены самой приро-

дой микрочастиц, их корпускулярноволновой двойственностью.

Рассмотрим примеры.

1. Пучок электронов в электронно-лучевой трубке. Допустим, что скорость

электронов υx =106 м/с	и определена она с точностью	0,1%, т.е.
∆υx = 0,001 υx =103 м/с.	Длина траектории электронов lтр = 0,2 м.	Неопреде-

ленность в измерении координаты (формула (3.3)):

∆x =	h	=	6,62 10−34		= 0,7 10	−6	м.
	m∆υx		9,1 10−31	103

Столь малое значение ∆x по сравнению с длиной траектории означает, что координаты электронов могут быть найдены с достаточно высокой точностью, т.е. можно говорить о траектории движения электронов. В данном случае электроны можно уподобить обычным классическим частицам.

2. Электрон в атоме. Допустим, что скорость, точность определения скорости и неопределенность в нахождении координаты такие же, как и в предыдущем случае, т.е. υx =106 м/с, ∆υx =103 м/с, ∆x = 0,7 10−6 м= 700нм. Длина траектории электрона в атоме lтр ≈ 0,3 нм. Как мы видим, ошибка в определении коорди-

нат электрона более чем в 2000 раз превышает длину его траектории, т.е. теряет смысл представление об электроне как о частице, движущейся по орбите. В этом случае к электрону следует применять законы квантовой механики. Таким обра-

38

зом, соотношение неопределенностей служит мерой пригодности применения законов классической физики к описанию микрочастиц.

Квантовая механика (или механика микрочастиц) позволяет лишь предсказать с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. Так, например, электрон в атоме может находиться на любом расстоянии от ядра, но вероятность пребывания его на различных расстояниях различна. Орбиты атомов, определяемые по теории Бора, представляют собой геометрические места точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии W и времени t :

∆W ∆t ≥h .

(3.4)

Система, имеющая среднее время жизни ∆t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии.

Из выражения (3.4) следует важный вывод о том, что существует неопределенность уровня энергии возбужденного состояния атома, так называемая ширина уровня энергии.

§ 3. Волновая функция и её статический смысл. Уравнение Шрёдингера

Для понимания физического смысла волн де Бройля рассмотрим взаимоотношение между корпускулярными и волновыми свойствами света при его дифракции. Уравнение световой волны можно записать в виде (формула (1.3)):

ψ = Ψcos(ω0 −kx) или ψ = Ψcos ϕ.

Для облегчения математических расчетов, уравнение волны можно записать иначе, используя тригонометрическую и показательную формы записи комплексного числа:

~	iϕ	.	(3.5)
Ψ = Ψ(cos ϕ + i sin ϕ) = Ψe

Здесь Ψ – амплитуда волны (модуль комплексного числа);

Ψ~ – комплексная амплитуда, причем Ψ~ = Ψ .

При этом в расчетах берется только вещественная часть соответствующего выражения.

Согласно волновым представлениям, интенсивность света I в дифракционной картине пропорциональна квадрату модуля амплитуды световой волны (фор-

мула (1.7)):

I ~ Ψ 2 .

Амплитуда волны может быть комплексной величиной, но её квадрат, связанный с энергией, должен быть действительной величиной, поэтому берется

Ψ. 2 . По корпускулярной теории интенсивность света определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины, т.е. пропорциональна вероятности попадания фотонов в эту точку.

39

Из сопоставления этих двух представлений, можно сделать вывод: квадрат модуля амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку

p ~		Ψ	. 2 .	(3.6)

При дифракции частиц, например, электронов в формуле (3.6) под Ψ. 2 понимают квадрат модуля амплитуды волн де Бройля, который является мерой вероятности того, что частица обнаружится в данной точке дифракционной картины.

Для описания распределения вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства введена функция ψ(x, y, z, t), назы-

ваемая волновой функцией или пси – функцией. Волновая функция является основополагающей в квантовой механике, она содержит основную информацию о корпускулярных и волновых свойствах частиц. Определим её: вероятность dp

того, что частица находится в элементе объёма dV пропорциональна Ψ. 2 и элементу объёма dV :

dp = Ψ. 2 dV = Ψ. 2 dx dy dz .

Величина Ψ. 2 = dVdp имеет смысл плотности вероятности и определяет

интенсивность волн де Бройля. Сумма величин Ψ. 2dV по всему объёму, т.е. интеграл есть сумма вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объёма. Если частица существует, то вероятность обнаружения её во всем бесконечном пространстве равна единице, т.е.

p =	∞		Ψ		2dV = 1 .	(3.7)
	∫	.		.
	−∞

Уравнение (3.7) носит название условия нормировки. Основным уравнением квантовой механики является уравнение Э. Шрёдингера. Он получил его в 1926 году, развивал идею Л. де Бройля о волновых свойствах микрочастиц. Как и уравнения Ньютона в классической механике, уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется. Справедливость его доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения, хорошо согласуются с опытом. Одна из форм записи уравнения Шрёдингера, так называемое уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, имеет вид:

∆ψ+ 2m	(W −U)ψ=0,	(3.8)
h2

где h – постоянная Планка;

U =U(x, y, z); ψ=ψ(x,y,z) – соответственно потенциальная энергия и вол-

новая функция, которые в данном случае не зависят от времени; m – масса частицы;

∆ – оператор Лапласа (∆ψ= ∂∂2xψ2 +∂∂2yψ2 +∂∂2zψ2 ); W – полная энергия частицы.

40