Раздел «Преобразования плоскости»

Тема 6. Движения. Свойства движений

1. Типовые задачи с решениями

Задача 1.1. Построить образ окружности при скользящей симметрии, заданной вектором и осью , где (рис. 6).

Р ешение.

По определению скользящей симметрии сначала строим образ окружности при параллельном переносе , т.е. (для этого достаточно построить образ центра окружности , а радиус окружности равен ). Заметим, что окружность строить не обязательно, достаточно построить ее центр .

Затем строим образ окружности при осевой симметрии , т.е. .

, следовательно, − искомая окружность.

Задача 1.2. На окружности отмечены три точки и так, что точка делит пополам дугу . Доказать, что .

Р ешение. Так как , то , причем дуга отобразится на дугу (рис. 7). Тогда точка перейдет в такую точку на дуге , что дуги и будут равны. А так как по условию и − середина , то точка совпадет с , т.е. .

Тогда по определению осевой симметрии есть серединный перпендикуляр к отрезку , т.е. .

Задача 1.3. Доказать, что при центральной симметрии прямая, проходящая через центр симметрии, переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.

Р ешение. а) Пусть − центр симметрии и прямая проходит через точку (рис. 8, а).

а)

б)

Рис. 8

Возьмем на прямой произвольную точку . Пусть . Тогда по определению центральной симметрии − середина отрезка . Следовательно, .

Так как , то . Учитывая, что , получаем, что совпадает с , т.е. .

б) Пусть (рис. 8, б). Возьмем точки и найдем и . Тогда .

Диагонали и четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, − параллелограмм, откуда получаем, что , т.е. .

2. Задачи для решения на практическом занятии

2

.1. Параллельный перенос задается парой соответственных точек . Построить образ угла (рис. 9).

2.2. Известно, что (рис. 10). Назовите все пары прямых, проходящих через эти точки и симметричных относительно .

2

.3. Построить образ данной прямой при осевой симметрии, заданной парой соответственных точек (рис. 11).

2 .4. Построить образ луча при повороте вокруг точки на угол (рис. 12).

2.5. Известно, что . Укажите образ точки , образ точки , прообраз точки (рис. 13).

2.6. В четырехугольнике . Доказать, что .

2.7. Начертите два непараллельных отрезка и , длины которых равны. Построить центр поворота, отображающего на ( в , а − в ). Сколько существует таких поворотов? А если ?

3. Задачи для самостоятельного решения

3.1. Построить образ угла при параллельном переносе, заданном парой соответственных точек (рис. 14).

3.2. Построить образ тупого угла при повороте вокруг точки , лежащей внутри угла, на угол (рис. 15).

3.3. Две окружности и неравных радиусов пересекаются в точках и . Доказать, что точки и симметричны относительно прямой .

3 .4. Известно, что − образ при повороте (рис. 16). Как построить образ точки с помощью одного циркуля?

3.5. Известно, что (рис. 17). Как с помощью одной линейки построить точку пересечения высот , если точка пересечения высот дана?