Тема 7. Аналитическое выражение движений
1. Типовые задачи с решениями
Задача 1.1.
Найти координаты образа
и прообраза
точки
при повороте вокруг начала координат
на угол
.
Решение. Найдем аналитическое выражение поворота, данного в задаче:
Чтобы найти
координаты образа
точки
,
надо подставить в эти формулы вместо
и
данные координаты точки
,
т.е.
.
Тогда
;
,
т.е.
.
Чтобы найти
координаты прообраза
точки
,
т.е. координаты точки, для которой
теперь является образом, надо положить
и найти
и
:
Умножив второе
уравнение системы на
и сложив с первым, найдем
:
Подставляя найденное значение в одно из уравнений системы, найдем :
Таким образом,
.
Ответ: , .
Задача 1.2.
Найти уравнение образа
и прообраза
прямой
при осевой симметрии с осью
.
Решение.
Аналитическое выражение осевой симметрии
имеет вид:
Чтобы найти
уравнение образа
прямой
,
нужно выразить из этой системы
и
и подставить их в уравнение прямой
:
.
Опуская штрихи, получаем:
.
Чтобы найти
уравнение прообраза
прямой
,
запишем уравнение прямой
(образа прямой
)
в виде
и подставим в него
и
из аналитического выражения
:
.
Получили для прямых и одно и то же уравнение. Это не случайно, т.к. при осевой симметрии (так же как и при центральной) образ и прообраз любой фигуры всегда совпадают.
Ответ:
,
.
Задача 1.3.
Даны прямые
и
.
Найти такие точки
и
,
что
и
,
где
.
Решение.
,
т.е.
.
Тогда учитывая, что
,
получаем:
(рис. 18).
С
ледовательно,
чтобы найти координаты точки
,
надо сначала найти уравнение образа
прямой
при параллельном переносе на вектор
,
а затем решить систему уравнений прямых
и
.
Найдем аналитическое выражение параллельного переноса на вектор :
Найдем уравнение
образа
:
,
т.е.
.
Решаем систему
Сложив почленно уравнения системы, получим:
.
Итак,
.
Так как
,
то
,
т.е.
−
прообраз точки
.
Найдем координаты прообраза
точки
:
откуда
,
т.е.
.
Ответ: , .
2. Задачи для решения на практическом занятии
2.1.
Вывести аналитическое выражение
центральной симметрии с центром
.
2.2. Найти
координаты образа
и прообраза
точки
в центральной симметрии с центром
.
2.3.
Найти уравнение образа
и прообраза
прямой
при повороте на угол
вокруг начала координат.
2.4.
В ортонормированном репере дано
аналитическое выражение преобразований
и
:
Доказать, что и − движения. Определить их род. Найти их инвариантные точки.
2.5.
Даны прямые
и
.
Найти координаты таких точек
и
,
что
,
и
.
2.6.
Найти уравнение оси симметрии точек
и
.
3. Задачи для самостоятельного решения
3.1.
Найти координаты образа
и прообраза
точки
при параллельном переносе на вектор
.
3.2.
Найти уравнение образа
и прообраза
прямой
при
центральной симметрии с центром
.
3.3.
Даны прямые
и
.
Найти координаты таких точек
и
,
что
,
и
.
3.4. Найти инвариантные точки преобразования, заданного формулами:
а)
б)
3.5.
Найти аналитическое выражение композиции
осевых симметрий
и определить вид этого движения.