Тема 3. Закони вебера-фехнера та стівенса

1. Сутність теорій е. Вебера. Г. Фехнера, с. Стівенса.

2. Проблеми психометрії сприйняття звукової енергії.

3. Інтегральні характеристики енергії звуку та математичний апарат їх обчислення.

Як же людина відчуває “силу звуку”, або “звуковий тиск”, у по­рівнянні з вимірюванням “сили звуку” приладами ? “Сила звуку”, або “звуковий тиск”, в сприйнятті людини характеризується такою вели­чиною як “гучність” звуку.

Визначення такого суб’єктивного відчуття як “гучність” звуку засноване на психофізичному законі, встановленому 1846 року вче­ним Е.Вебером, який заклав основи "психометрії", тобто кількісних вимірювань відчуттів. Оскільки відчуття є суб’єктивним процесом, абсолютні вимірювання сили відчуттів неможливі, Вебер переніс проблему в царину вимірювання відносних величин і шукав мініма­льні відмінності у відчуттях, які можна зафіксувати.

Суть закону Вебера полягає в тому, що мінімальна зміна інтен­сивності звуку\ яке розрізняє людське вухо, не залежить від інтенсив­ності чутного звуку і складає приблизно 10% від її величини:

(

І

3.1)

Крім слухових відчуттів, Вебер вивчав також дотик і зір і встано­вив, що для дотику мінімальна відмінність у відчутті тяжкості ванта­жу не залежить від величини цього вантажу й становить ~ 1/30, а для зору мінімальна сприймана різниця в інтенсивності світла також не залежить від величини інтенсивності й становить ~ 1/100.

Базуючись на такому розумінні “слухового відчуття” за Вебером, можна побудувати шкалу рівня відчуття звуку> Е, виходячи із такого диференціального співвідношення:

4

(3.2)

Е=кх— / ^де

сіЕ - нескінченно малий приріст рівня відчуття, обумовлений не­скінченно малим приростом інтенсивності (11:

к коефіцієнт, ию віпначлс масилаб шкали. Інгсіруючи ліву та праву частини співвідношення (3 2і. отримаймо:

Е

(3.3)

-к*\пІ ле

Ео~ константа, з точністю до якої визначаються невизначені інте­грали. Для того, щоб викликати звукове відчуття, хвиля повинна мати деяку мінімальну інтенсивність /_пч, яка називається порогом чутності. Природно пов’язати константу Е₀ з цією величиною, наприклад, як:

Е

(3.4)

₀ =-кхІпІ_пч,

щ о дає можливість подати співвідношення (3.4) у вигляді:

(3.5)

Якщо певним чином визначити константу к та перейти до десят­кових логарифмів, то (3.5) для рівня відчуття Е набуває вигляду.

Е

(3.6)

—10х1§-р

Це співвідношення (3.6) називається законом Вебера-Фехнера і відображає той факт, що чутливість вуха людини до звуку змінюється в логарифмічній залежності від інтенсивності звуку.

Аналогічні (3.6) співвідношення були встановлені Е.Вебером і Г.Фехнером і для інших відчуттів - відчуттів людини, що даються ор­ганами дотику й зору (Фехнеру належить велика кількість робіт із "психофізики", які він визначав як "точну науку про функціональні залежності між тілом і душею, загальне — між матеріальним і духов­ним, фізичним і психічним світом").

1961 року американський психолог С.Стівенс, базуючись на ро­зумінні “слухового відчуття” за Вебером, вніс деяку зміну у вираз

2. , а саме:

• -кх—

Е

(3.7)

~ ^Х І

Цей вираз, за Стівенсом, треба розуміти так: не тільки приріст йі інтенсивності звуку треба співвідносити з абсолютною величиною ін­тенсивності звуку /, але й величину приросту “відчуття"’ (іЕ треба співвідносити з абсолютною величиною відчуття Е. З урахуванням (3.7) основний психофізичний закон сприйняття звуку набуває ви­гляду:

Е—ах/ . де (3.&)

к - коефіцієнт, що визначає масштаб шкали;

а - деяка постійна величина.

Це співвідношення називається законом Стівенса й відображає той факт, що чутливість вуха людини до звуку змінюється в степеню вій залежності від інтенсивності звуку.

Вказані закони використовують такі поняття як інтенсивність, рі_в, ні інтенсивності та математичний апарат їх обчислення - логарифміч- ні та степеневі функції.

Об'єктивною інтегральною характеристикою енергії звуку, яка не враховує частотного складу звуку, є “сила звуку”, або “інтенсивність”.

Позначають її літерою І. Це величина звукової енергії, що вимі­рюється в джоулях, та проходить за одиницю часу (секунду) через площу одиничної величини (квадратний метр), що розміщена пер­пендикулярно напряму розповсюдження звуку. В навколишньому се­редовищі діють і сприймаються звукові сигнали, інтенсивність яких змінюється від 10'¹⁴ (дж/сек*м²) до 10⁺² (дж/секхм²). Сила звуку при цьому змінюється в 10^ті6 разів або майже в 10 разів більше, ніж “мільярд мільйонів”.

Визначимо “нульову інтенсивність” І₀, що дорівнює: Іо - Ю‘¹² (дж/секхм ). Зауважимо, що величина І₀ приблизно в 100 разів більше, ніж поріг слухового відчуття людини - 10*¹⁴ (дж/секхм²). Співвідно­шення ИІ₀ в навколишньому середовищі змінюється від величини 10*² разів до величини 10^¹⁴ разів.

“Скомпресувати”, зменшити динамічний діапазон зміни величи­ни, що характеризує співвідношення ///о,, можна за допомогою лога­рифмів.

Визначення логарифмів пов’язане з таким загальним математич­ним поняттям як “функція”. Функція в математиці позначається як :

у=ґ(X), де (3.9)

>•- значення функції;

х — аргумент функції,

/( х ) - позначення дії, яку потрібно виконати з “аргументом” * функції, шоб отримати “значення"

Щодо логарифмічної функції, то вона має таке позначення-

>' = ^ІО§а*,Де (3.10)

а - “основа” логарифму. Формула (3.10) позначає таке співвід- ношення між “значенням функції*” та “аргументом” :

^а' = ^х (3.11)

Якщо а =10, то логарифмічна функція називається “десятко­вою”, позначається як у = 1§ х ; якщо а =2, то логарифмічна функція називається “двійковою”, позначається як у — Іо§₂ ^х ; якщо а - е, де е ~ 2,71 (іраціональне число), то логарифмічна функція називається “неперовою”, або “натуральним логарифмом ” і позначається як у-Іпх.

Таблицю деяких значень десяткового логарифму наведено у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1

Деякі характерні значення десяткового логарифму

X	0,001	0,01	0,1	1	10	100	юоП
І&Х	-3	-2	-1	0	1	2	^3 1

Якщо х - нескінченно мале, то значення логарифму прямує до “мінус нескінченності", якщо х нескінченно велике, то значення лога­рифму прямує до “плюс нескінченності".

Графік функції десяткового логарифму подано на Рис. 3.1 для додатних значень логарифму, а на Рис. 3.2 для від’ємних значень ло­гарифму.

Іод(м)/1од(10)

Рис. 3.1. І рафік функції десятконого логарифму у ~ /і» \* для додаїних значень логарифму

Для обчислення десяткового логарифму “І£ х” використовується формула [32]:

ІПЛ'

1

(3-12)

§.г =

ІпІО

Рис. 3.2. Графік функції' десяткового логарифмуй-І£^х для від’ємних значень логарифму

У довіднику з математики (Бронштейи І.Н., Семендясв К.А.)[32] наведені також такі корисні співвідношення для логарифмів, у дано­му випадку десяткових :

і§(ххг) = І£Х+1£2. (3.13)

1

(3.14)

§(х/г) = І£.г-І£-

Ці формули, а також графік значень десятковою логарифму для значень аргументу логарифму в діапазоні від одиниці до десяти, на­ведений на Рис.3.3, значно сиропі)* процедуру розрахунку довільних сїесятАгміа логарифмів з урахуванням формули (3.13), яка для конк­ретних значень розписана в таблиці 3.2

Процедура розрахунку десяткового логарифму з урахуванням формули (3.13)

_1§(х*г)	X	2	І£Х	їй 2	їй Х+ їй 2
	5	1	= 0.7	0	= 0.7
І£ 50	5	10	= 0.7	1	= 1.7
І£ 500	5	100	= 0.7	2	= 2.7
їй 5000	5	1000	= 0.7	3	= 3.7
їй 0.5	5	0.1	= 0.7	-1	= -0.3 ^
їй 0.05	5	0.01	= 0.7	-2	= -1.3
їй 0.005	5	0.001	= 0.7 1 -3		= -2.3

Іоя(хуіод(10)

09 0 8 0 7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

1 2 3 4 5 6 7 8 910

Рис. 3.3. Графік функції десяткового логарифму у - 1$х для значень аргументу логарифму в діапазоні від одиниці до десяти

Значення логарифму для х=5,4 приблизно дорівнює 0,73.

Значення десяткової логарифмічної функції для відношення І/І₀, що збільшене в 10 разів (і{я величина дас “рівень інтенсивності зву­ку", або “рівень сили звуку",що позначається як І ( від англ.іеуеі - рівень^ та вимірюється в децибелах, наведено в таблиці 3.3. Динаміч­ний діапазон зміни рівня сили звуку змінюється від -20 до +140 дБ, що відповідає зміні сили звуку в навколишньому середовищі у 10^і6 разів. У подальшому, якщо це необхідно, рівень інтенсивності звуку будемо також позначати як Г| (див. Табл.3.3) на відміну від рівня тис­ку 1,_р (див. Табл.3.4)

Таблиця переводу “інтенсивності” в “рівні інтенсивності” Ь_І

І	10^:ІТ"	о о ~ 1	10'^11		10^+‘	~~Ї(Ґ^Г~
ІПо |	1 10'^2	10'' | 1	Ї0^+І		10^+|3	10+14-
Ьі=/0х/^/^,дБ ..	-20	-10 0	+ 10 І		+ 130	+и<Г

Об’єктивною інтегральною характеристикою величини звукових ко­ливань, яка також не враховує частотного складу звуку, є “тиск” звуку.

Тиск звуку Р в певній точці простору визначається як:

Р = Р.м.~Ра.,, ДЄ (3-15)

Рам. ~ миттєве значення тиску в точці простору під дією звукової хвилі;

Ра.с. ~ статичне атмосферне значення тиску в точці простору, ко­ли звукової хвилі нема.

Тиск звукової хвилі характеризує величину “розрідження” або “згущення” повітря в певній точці простору. Тиск звуку Р вимірюєть­ся в Па (Паскаль - одиниця величини тиску). Мінімальний тиск зву­ку Р₀ , який ще відчуває людина, дорівнює приблизно 1СГ⁵ Па, макси­мальний тиск звуку Р, який ще людина здатна сприймати без значних больових відчуттів, дорівнює приблизно 10⁺² Па.

Таблиця 3.4

Таблиця переводу “тиску” в “рівень тиску” Ьр

Р(Па) 1	10'^5	10^	| 10‘^3 і	По-^2	10^+І	10^
Р/Ро 1	^1 і	Г Ю‘^!	1^1 і	! ю^+з 1	10^	Г'ГО^'
=20*1%(Р/Ра), дБ І	^0 1	+20 і	І +40	+60 І	+ 120	+ 140

Коефіцієнт “20”, що використовується при обчисленні рівня А “ти ску звуку” Р в децибел ах, пояснюється так. Між інтенсивністю звуку / та звуковим тиском Р існує такий зв’язок:

І - Р^гІ (с*р), де (З.іб)

с швидкість звуку в повітрі, р - питома густина повіїря Тоді:

10*1% (И₀) = 1<М₈ (Р/Г₀Г ^ 20* Іц (1>/І>о) ап)

Співвідношення (3.17) безпосередньо виникають з формули (3.13), якщо позначити співвідношення (Р/Ро) - х та представити фор­мулу (3.13) у такому вигляді:

Юхі^х² =10хі£(ххх) = 10х1§х+10хі£х = 20хі£л:, (здв)

Як закон Вебера-Фехнера, так і закон Стівенса походять із дифе­ренціальних співвідношень, для розкриття змісту яких і були введені такі поняття як рівень інтенсивності звуку та рівень звукового тиску.

Отже, якщо закон Вебера-Фехнера пов’язує рівень відчуття сприйнят­тя звуку з рівнем інтенсивності, то закон Стівенса пов’язує величину від­чуття сприйняття звуку безпосередньо з величиною інтенсивності звуку.