Міністерство освіти і науки України

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ФІЗИКА

методичНІ ВказІВКИ

Механіка

для студентів усіх спеціальностей

хімічного факультету

Одеса

Наука і техніка

2005

Фізика. методичні вказівки. Механіка для студентів усіх спеціальностей хімічного факультету / Укл. : М. П. Спіріхіна, О. Ю. Мандель. – Одеса: Наука і техніка, 2005. – 66с.

Укладачі: М. П. Спіріхіна,

ст. викладач,

О. Ю. Мандель,

кандидат фіз.– мат. наук, доцент

ЗМІСТ

ВСТУП........................................................................................................................ 4

1. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ….......................... 6

2. ВЕКТОРИ............................................................................................................... 7

3. ОСНОВИ КІНЕМАТИКИ.................................................................................... 16

3.1. Кінематика точки............................................................................................... 16

3.2. Кінематика обертального руху......................................................................... 17

3.3. Приклади розв’язування задач з кінематики.................................................. 18

4. ДИНАМІКА.......................................................................................................... 35

4.1. Методичні вказівки до розв’язування задач з динаміки................................ 35

4.2. Динаміка матеріальної точки і поступального руху тіла.............................. 35

4.3. Приклади розв’язування задач з динаміки матеріальної точки і

поступального руху тіла................................................................................... 39

4.4. Динаміка твердого тіла..................................................................................... 49

4.5. Приклади розв’язування задач з динаміки твердого тіла............................ 52

ДОДАТОК................................................................................................................. 63

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.................................................... 66

ВСТУП

Механіка – це розділ фізики, у якому вивчається рух тіл у просторі і часі. Той факт, що механічні явища відбуваються у просторі й часі, знаходить своє відбиття у будь-якому механічному законі, який містить у собі явно чи неявно просторово-часові співвідношення – відстані й проміжки часу.

Положення тіла у просторі можна визначити тільки у відношенні до якихось інших тіл. Це ж стосується й руху тіла, тобто зміни його положення з плином часу. Тіло (або система нерухомих щодо одне до одного тіл), яке служить для визначення положення тела, що нас цікавить, називають тілом відліку.

Практично для опису руху з тілом відліку зв’язують якусь систему координат, наприклад декартову. Координати тіла дозволяють встановити його положення у просторі. Оскільки рух відбувається не тільки у просторі, а й у часі, то для опису руху треба відлічувати також і час. Це роблять за допомогою годинників того чи іншого типу.

Сукупність тіла відліку і зв’язаних з ним координат та синхронізованих між собою годинників утворюють систему відліку. Поняття системи відліку є фундаментальним у фізиці. Просторово-часовий опис руху за допомогою відстаней і проміжків часу можливий лише тоді, коли обрано певну систему відліку.

Простір і час самі є фізичними об’єктами, як і будь-які інші, але незмірно більш важливими та істотними. Щоб вивчити властивості простору й часу, треба спостерігати рух тіл, що в них містяться. Досліджуючи характер руху тіл, ми тим самим пізнаємо і властивості простору й часу.

Досвід виявляє, що, доки швидкості тіл малі порівняно із швидкістю світла, лінійні масштаби й проміжки часу залишаються незмінними при переході від однієї системи відлику до іншої, тобто не залежать від вибору системи відліку. Це знайшло своє відбиття у ньютонівській концепції абсолютності простору й часу. Механіку, яка вивчає рух тіл саме у цих випадках, називають ньютонівською.

При переході ж до швидкостей, зрівняних із швидкістю світла, виявляється, що характер руху тіл радикально змінюється. При цьому лінійні масштаби й проміжки часу вже залежать від вибору системи відліку і в різних системах відліку будуть різними. Механіку, збудовану на цих уявленнях, називають релятивістською. Природно, що релятивістська механіка є більш загальною і в окремому випадку малих швидкостей переходить у ньютонівську.

Реальні рухи тіл настільки складні, що, вивчаючи їх, слід відволіктися від неістотних для розглядуваного руху деталей. Для цього використовують поняття (абстракції, ідеалізації), застосовність яких залежить від конкретного характеру задачі, що нас цікавить, а також від ступеня точності, з якою ми бажаємо отримати результат. Серед цих понять велике значення становлять поняття матеріальної точки та абсолютно твердого тіла.

Матеріальна точка – це тіло, розмірами якого за умов даної задачі можна знехтувати.

Абсолютно тверде тіло, або, коротше, тверде тіло, – це система матеріальних точок, відстані між якими не змінюються в процесі руху. Реальне тіло можна вважати абсолютно твердим, якщо за умов розглядуваної задачі його деформації такі малі, що ними можна знехтувати .

Механіка ставить перед собою дві основні задачі:

1. Вивчення різних рухів і узагальнення здобутих результатів у вигляді законів руху – законів, за допомогою яких може бути завбачений характер руху в кожному конкретному випадку.

2. Відшукання загальних механічних властивостей, тобто загальних теорем чи принципів, притаманних будь-якій системі, незалежно від конкретного роду взаємодій між тілами системи.

Розв’язування першої задачі призвело до встановлення Ньютоном та Ейнштейном так званих динамічних законів, розв’язування ж другої задачі – до виявлення законів зберігання таких фундаментальних величин, як енергія, імпульс та момент імпульсу.

Динамічні закони і закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу являють собою основні закони механіки.

1. Методичні вказівки до розв’язування задач

При розв’язуванні задач доцільно керуватися наступними правилами.

1. Перш за все слід добре вникнути в умову задачи, обов’язково зробіть рисунок, який пояснює її сутність.

2. За рідкісними винятками, кожна задача має бути спочатку розв’язаною в загальному вигляді (тобто у буквених позначеннях, а не в числах), причому шукана величина має бути вираженою через задані величини. Здобувши розв’язок у загальному вигляді, слід перевірити, чи правильну він має розмірність. Якщо це можливо, дослідити поводження розв’язку в граничних випадках. Наприклад, при розгляді руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, задані модуль початкової швидкості та кут , під яким кинуто тіло; відомо також прискорення . Для висоти підйому h і дальності польоту l здобуваємо значення

.

Перевірка виявляє, що обидва вирази, як і має бути, мають розмірність довжини. При виходить , що збігається з відомим виразом для висоти підйому тіла, кинутого вертикально вгору. Для l дістаємо правильне значення – нуль.

У тих випадках, коли в процесі знаходження шуканих величин доводиться розв’язувати систему кількох громіздких рівнянь, доцільно спочатку підставляти у ці рівняння числові значення коефіцієнтів і лише потім визначати значення шуканих величин.

3. Переконавшися у правильності загального розв’язку, підставляють у нього замість кожної з літер числові значення позначених ними величин, беручи, зрозуміло, усі ці значення в одній і тій самій системі одиниць. Щоб полегшити визначення порядку обчислюваної величини, корисно подати вихідні величини у вигляді чисел, близьких до одиниці, помножених на 10 у відповіднім степеню (наприклад, замість 247 підставити 2,47·10², замість 0,086 – число 0,86·10^-1 й таке інше).

4. Слід пам’ятати, що числові значення фізичних величин завжди є наближеними. Тому при обчисленнях треба керуватися правилами дій з наближеними числами. Зокрема, у здобутому значенні обчисленої величини слід зберегти останнім той знак, одиниця якого перевищує похибку цієї величини. Усі позосталі значущі цифри треба відкинути.

5. Здобувши числову відповідь, слід оцінити її правдоподібність. Така оцінка може в багатьох випадках виявити помилковість здобутого результату. Наприклад, швидкість тіла не може бути більшою за швидкість світла у вакуумі, дальність польоту каменя, кинутого людиною, не може бути порядку 1000 м, маса молекули – порядку 1 мг і таке інше.

2. Вектори

Описуючи фізичні й технічні процеси, явища, ми зустрічаємося з величинами різної природи. Деякі з них, такі, як маса, температура, об’єм, повністю визначаються одним числом. Вони називаються скалярними величинами. Поряд з цим існують величини, для характеристики яких необхідно вказати ще й напрям, наприклад, сила, швидкість, напруженість електричного поля. Такі величини називають векторними. Геометричною моделлю векторної величини є напрямлений прямолінійний відрізок, або вектор.

Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, в якого обмежуючі його точки беруться у певній послідовності; при цьому перша точка називається початком вектора, друга – його кінцем.

Позначається вектор , А – початок вектора, В – його кінець. Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називають нульовим і позначають . Нульовий вектор не має певного напряму, тобто йому можна приписати який завгодно напрям. Відстань між початком А і кінцем В вектора називають модулем (довжиною) вектора . Позначення: . Очевидно .

За допомогою геометричних векторів (напрямлених відрізків) можна моделювати різноманітні фізичні величини. Векторна система позначень має дві істотні переваги.

1. Формулювання фізичних законів у векторній формі не залежать від вибору осей координат. Векторна система позначень являє собою таку мову, у якій формулювання мають фізичний зміст навіть без введення системи координат.

2. Векторна система позначень є компактною. Багато з фізичних законів виражаються через векторні величини у простій і наочній формі, яка не зберігається при виражанні їх через проекції цих величин у якійсь системі координат.

Вектор можна задати, якщо вказати початок, модуль (довжину) і напрям. Але у багатьох випадках початок, чи, як кажуть фізики, точка прикладання, не має істотного значення, а важливі лише модуль і напрям. Такі вектори називають вільними на відміну від зв’язаних, де точка прикладання є істотною, або ковзних, де початок вектора може пересуватися вздовж прямої, на якій розташовується вектор. Оскільки завдання ковзного або зв’язаного векторів може бути замінене завданням двох вільних векторів, далі розглядатимуться саме вільні вектори. Оскільки для таких векторів початок можна не вказувати, то їх часто позначають однією літерою із стрілкою над нею. Наприклад: . У друку позначення векторів зазвичай набираються жирним шрифтом (а). Модуль вектора друкується курсивом: а – модуль вектора . Замість а пишуть також .

Вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Очевидно, нульовий вектор можна вважати колінеарним будь-якому векторові. Те, що вектор колінеарний векторові позначають так: .

Вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Очевидно, два вектори завжди компланарні, три вектори, один з яких нульовий, також компланарні.

Рівність векторів. Два вектори та називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають однакові модулі. З цього означення випливає: якщо довільна точка і – даний вектор, то існує й до того ж єдиний вектор , що дорівнює даному. Інакше кажучи, вектор можна переносити у просторі паралельно самому собі.

Добуток вектора на число. Добутком вектора на дійсне число називають такий вектор , що: 1) ; 2) ; 3) якщо , то вектори та однаково напрямлені, якщо ж , то – протилежно напрямлені. Якщо , то . Те ж саме буде, якщо . Добуток вектора на число позначається . Вектор називається протилежним до і позначається .

Додавання векторів. Сумою двох векторів та називають вектор , який будується таким чином: від довільної точки М відкладаємо вектор , що дорівнює , а потім будуємо вектор , що дорівнює . Приймаємо (рис. 2). Позначення: . Наведене означення суми векторів називають ще правилом трикутника, або правилом паралелограма, оскільки у разі неколінеарності додаваних векторів являє собою діагональ паралелограма, побудованого на векторах, що дорівнюють та , як на сторонах (рис. 1). З означення випливає, що сума двох векторів компланарна із своїми доданками. Правило трикутника легко узагальнюється на випадок трьох та більшої кількості доданків.

Різницею векторів і називають вектор , тобто різниця векторів визначається, як показано на рис. 3. Позначення: .

Суму векторів та добуток вектора на число називають лінійними операціями з векторами. Для них зберігаються властивості комутативності, асоціативності, дистрибутивності.

Нехай вектор . Тоді і . Розглянемо вектор . Цей вектор колінеарний векторові й до того ж однаково напрямлений з ним, . Вектор називають ортом вектора , або одиничним вектором для , і часто позначають . Щоб здобути орт, слід вектор помножити на число, обернене до .

Для будь-яких колінеарних векторів та , якщо , існує й до того ж єдине число , таке, що .

Щоб фізична величина виражалася вектором, вона має задовольняти наступні дві умови:

1. Для неї має виконуватися закон додавання за правилом трикутника (паралелограма).

2. Її модуль і напрям мають бути незалежними від вибору системи координат.

Введемо поняття кута між векторами. Кутом між векторами будемо називати найменший кут, на який слід повернути один з векторів, щоб його напрям збігався з напрямом другого. В означенні не йдеться про те, від якого вектора і в якому напрямі відлічується кут. Звідси випливає, що кут між двома векторами не може бути від’ємним і не може бути більшим за .

Якщо кут прямий, то вектори називають ортогональними. Позначення: . Нульовий вектор ортогональний будь-якому векторові.

Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком двох векторів та називається число, що дорівнює добуткові модулів цих векторів на косинус кута між ними. Операція скалярного добутку двох векторів позначається або точкою між символами співмножників:

, (1)

де – косинус кута між векторами та . Очевидно, що означення скалярного добутку зовсім не зв’язане з системою координат, тобто скалярний добуток векторів являє собою скаляр. Зауважмо, що , і тому скалярний добуток комутативний:

.

Якщо , то і

.

Для того, щоб два вектори були ортогональними, необхідно і достатньо, щоб їхній скалярний добуток дорівнював нулю.

Не існує дії, оберненої скалярному добуткові векторів. Ділення на вектор неможливе, це беззмістовна, невизначена операція.

Потужність (робота, яка виконується за одиницю часу). З елементарного курсу фізики ми знаємо, що робота, яку сила здійснює за одиницю часу над частинкою, що рухається із швидкістю , дорівнює . У цьому виразі ми зараз пізнаємо скалярний добуток: .

Координати векторів. Декартова прямокутна система координат. Впорядковану трійку ненульових некомпланарних векторів називають базисом у просторі. Будь-який вектор простору може бути поданий у вигляді:

,

або, як кажуть, може бути розкладений за базисом й до того ж єдиним чином. Аналогічно, впорядковану пару ненульових неколінеарних векторів називають базисом на площині, і будь-який вектор площини може бути розкладений за базисом і до того ж єдиним чином. Коефіцієнти при базисних векторах у розкладанні вектора за базисом називаються координатами вектора відносно даного базису.

При додаванні векторів їхні координати відносно будь-якого фіксованого базису додаються, а при множені векторів на числа їхні координати помножаються на ці числа.

Впорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, або правоорієнтованою, якщо найкоротший поворот від першого вектора до другого спостерігається з кінця третього вектора таким, що здійснюється проти руху годинникової стрілки. В противному випадку трійка називається лівою.

Базис у просторі, який складається з парами ортогональних векторів, називається ортогональним, а якщо до цього модуль кожного з цих векторів дорівнює одиниці, то ортонормованим. Вектори ортонормованого базису зазвичай позначають .

Зафіксуємо у просторі точку О і розглянемо довільну точку М. Вектор називають радіусом-вектором точки М. Оберемо в просторі деякий базис. Тоді точці М можна поставити у відповідність впорядковану трійку чисел – координати її радіуса вектора у даному базисі.

Декартовою системою координат у просторі називається сукупність точки і базису. Точка О називається початком координат, прямі, що проходять через початок у напрямі базисных векторів, – осями координат. Декартова система координат, базис якої ортонормований, називається декартовою прямокутною системою координат. Перша вісь цієї системи – вісь Ох, або вісь абсцис, вектор – орт цієї осі; друга вісь – вісь Оу, або вісь ординат, її орт , третя вісь – Оz, або вісь аплікат, її орт . Якщо базисна трійка векторів права, то й декартова система координат називається правою, а якщо базисна трійка ліва, то й система координат називається лівою. У фізиці зазвичай користуються правою системою координат. Зауважмо, що , а . Аналогічно визначаються декартові координати на площині. На площині точка має тільки абсцису та ординату.

Нехай l – деяка вісь, тобто пряма з визначеним напрямом та – одиничний вектор, який задає напрям осі, інакше – орт осі. Число називається проекцією вектора на вісь l і позначається Пр_l . Проекції вектора на осі декартової прямокутної системи координат збігаються з координатами вектора у вказаному базисі. Вектор називають складовою вектора вздовж осі l. Вектор , компланарний площині Р і такий, що вектор перпендикулярний цій площині, називається ортогональною складовою вектора на площині Р.

Отже, будь-який вектор можна виразити так:

, (2)

де – проекції (координати) вектора на відповідні координатні осі, а – складові цього вектора вздовж відповідних координатних осей.

Сума векторів та

. (3)

Різниця векторів та

. (4)

Скалярний добуток векторів та

. (5)

Векторний добуток. У фізиці широко використовується і інший вид добутку двох векторів. На відміну від скалярного цей добуток являє собою вектор і називається векторним добутком.

Векторним добутком вектора на вектор називається такий вектор , що (дивись рис. 4):

1) й , інакше кажучи, векторний добуток перпендикулярний площині векторів-співмножників;

2) , інакше кажучи, модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-співмножниках, як на сторонах;

3. вектори складають праву трійку.