- •1. Методичні вказівки до розв’язування задач
- •2. Вектори
- •Позначається векторний добуток на так: .
- •Вектор називається подвійним векторним добутком. Він є компланарним з векторами і . Можна показати, що . Приклад 1
- •Приклад 2
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •3. Основи кінематики
- •3.1. Кінематика точки
- •3.2. Кінематика обертального руху
- •3.3. Приклади розв’язування задач з кінематики
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •4. Динаміка
- •4.1. Методичні вказівки до розв’язування задач з динаміки
- •4.2. Динаміка матеріальної точки і поступального руху тіла
- •4.3. Приклади розв’язування задач з динаміки матеріальної точки і поступального руху тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •4.4. Динаміка твердого тіла
- •4.5. Приклади розв’язування задач з динаміки твердого тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Приклад 5
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток
- •Основні одиниці сі
- •Приставки для утворення десяткових кратних і часткових одиниць
- •Деякі астрономічні величини
- •Похідні одиниці механічних величин в сі
- •Фундаментальні фізичні сталі
- •Список рекомендованої літератури
3. Основи кінематики
Кінематика – це розділ механіки, де вивчаються способи опису рухів незалежно від причин, які обумовлюють ці рухи.
3.1. Кінематика точки
Існують векторний і координатний способи опису руху точки.
Радіус-вектор точки:
,
де – координати (компоненти) радіуса-вектора.
Кінематичні рівнняння точки:
Швидкість точки:
,
де – приріст радіуса-вектора за час , – середній вектор швидкості за час .
Модуль вектора швидкості:
,
де – шлях.
Прискорення точки:
.
Модуль вектора прискорення:
Тангенціальне прискорення точки:
,
де – модуль вектора швидкості, – одиничний вектор, зв’язаний з точкою, що рухається, і напрямлений по дотичній до траєкторії в бік зростання дугової координати l.
Модуль тангенціального прискорення (модуль складової вектора вздовж вектора ):
.
Нормальне прискорення точки:
,
де R – радіус кривини траєкторії, – орт нормалі до траєкторії, напрямлений до центру кривини.
Модуль нормального прискорення (модуль складової вектора прискорення вздовж вектора ):
.
Повне прискорення точки:
.
Модуль повного прискорення точки:
.
3.2. Кінематика обертального руху
Кутова швидкість:
,
де – кут повороту за проміжок часу .
Модуль кутової швидкості:
.
Вектори і – аксіальні вектори. Домовилися вважати їх напрямленими так, щоб з кінця вектора обертання здавалося б таким, що відбувається проти руху годинникової стрілки.
Линійна швидкість точки зв’язана з кутовою таким співвідношенням:
, ,
де – радіус кола, яке описує точка, що рухається.
У разі рівномірного обертання
,
де Т – період обертання, n – частота обертання.
Кутове прискорення:
.
Кутове прискорення зв’язане з лінійними таким чином:
.
Їхні модулі:
.
3.3. Приклади розв’язування задач з кінематики
Приклад 1
Радіус-вектор частинки змінюється з часом t за законом
де – сталий вектор, – додатна стала. Знайти:
1) швидкість та прискорення частинки в залежності від часу;
2) проміжок часу , за який частинка повернеться у вихідну точку, а також шлях , який вона пройде при цьому.
Розв’язання:
1) Оскільки – сталий вектор, рух частинки є прямолінійним. Оберемо вісь такою, що збігається за напрямом з вектором , тобто
,
тоді
. (1.1)
Проекція швидкості на вісь х:
. (1.2)
Вектор швидкості:
. (1.3)
Проекція прискорення на вісь х:
. (1.4)
Вектор прискорення:
. (1.5)
Оскільки , то . Рух частинки (матеріальної точки) є сповільненим.
2) Оскільки , то і , тобто
звідси випливає, що проміжок часу, за який частинка повернеться у вихідну точку, .
Шлях і координата до моменту зупинки збігаються. Починаючи з моменту зупинки, координата частинки спадає, а шлях продовжує зростати. Отже, шлях складається з двох відрізків: – шляху, який частинка пройшла до зупинки, та – шляху, який частинка пройшла з моменту зупинки до повернення у вихідну точку. На момент зупинки швидкість дорівнює нулю. Підставивши у (1.2), , дістанемо:
. (1.6)
Звідси випливає, що . Підставивши це значення у (1.1), дістанемо:
.
Шлях, який частинка пройшла до зупинки, , оскільки .
.
Шлях, який проходить частинка за проміжок часу :
(1.7)