Шпоры.Диффуры.3 сем

Доказательство: 1(x)…n(x)- реш.,  C1…Cn: C11+…+Cnn – реш. Пусть y(x) – произвольное решение системы (1). Зафиксируем x0I. Вычислим y(x0)= y0. Вычислим 1(x)…n(x)- они лин. незав., т.к. W(x0)0. Числа y0, 1(x0)…n(x0)  R^n(C^n), значит: y0 лин. выражается 1(x)…n(x), т.е. сущ. 1…n такие, что y0=i=1^nii(x). Рассм. вект.-функц. Z(x)= y(x) - i=1^nii(x). Z(x) – решение сист. (1). Z(x0)= y(x0) - i=1^nii(x0)= y0 - i=1^nii(x0)=0. Таким образом Z(x) – решение зад. Коши dy/dx=A(x)y, y(x0)=0. Эта задача имеет только нул-ое реш. xI: Z≡0, т.е. y(x)=i=1^nСii(x).
Докзательство: Из теор (11) (_Для того чтобы вектор-функция y=γe^λx являлась решением системы =Ay необходимо и достаточно, чтобы λ было собственным значением матрицы А, а γ собственным вектором, соответствующим собственному значению._) следует, что а y1(x).. yn(x) – решениея сист. (3). Докажем лин незав y1(x).. yn(x): Вычислим опр. Вронского этих функ. в x0=0: W(0)=[y1e^^1^x…yne^^n^x]= W(γ1*e^^1^x… γn*e^^n^x)≠0, т.к. соб.век. γ1…γn, матр.А, относящ. К различ. соб.знач. 1… n – лин.незав. Т.к. W(0)≠0, то y1(x).. yn(x)-лин.незав.След., они образуют ФСР. Общ. реш. имеет вид: C1γ1e^^1^x+…+ Cnγne^^n^x, где C1...Cn – произв числа (копл). Действ.случ: A = ||aij||nn, ij: aijR; (3) dy/dx = Ay (4) det|A - E| = 0 – действ. многочлен. степ. n и урав. имеет корни 1… n. I) Пусть 1… n-прост. действ. корни.( т.е. i≠j, j≠i); тогда сист. (3) имеет ФСР y1=γ1*e^^1^x… yn=γn*e^^n^x; где γ1…γn-дейст.соб.век. Общ.реш.: C1γ1e^^1^x+…+ Cnγne^^n^x II) Пусть среди 1… n встреч. компл. числа = + i, ,R, = + i-корни хар-го урав-ия, -соб.знач., γ≠0- соб.век. y=γ*e^^x по теор (11) реш. сист-мы (3). e^^x= e^(^^+ i^^)= e^^x(cosx+i*sinx) e^^(^сопряж^)^x= e^(^^- i^^)= e^^x(cosx-i*sinx), след. e^^x(сопряж)= e^^(^слпряж^)^x	Необходимо: L[ψ(x)]= b(x) Подставляем ψ(x) в (9) Ψ= dψ/dx=A(x) ψ(x)+b(x) dψ/dx=; +=A(x)+ +b(x)=+b(x) + =b(x) Заметим, = Получим систему: =b(x) Ф(x)=) - фундаментальная матрица С(x)=( ) , Ф(x)C’(x)=b(x) det Ф(x)=W(x)=W[] xI : det Ф(x)0 , значит Ф^-1(x)C(I) Ф(x)C’(x)=b(x), C’(x)=Ф^-1(x)b(x)=g(x) Ci’(x)=gi(x) i=1,…n Ci(x)= (x)= y= ψ+ y= k1, … kn – произвольные постоянные
33.Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой. =- устойчиво, если Замечание. 1) вектор-функция назывется ограниченной на множестве , если такое, что 2)= является ограниченной на в том и только в том случае, когда ограниченна на функция 3)Если ||, то i=1,…,n : |x(t)|||M Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без док-ва)	32.Решение y(t,y0*) неустойчиво, если: 1.выполняется 2. (t-время) *для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым. Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы. Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1) Сделаем замену в задаче (1),(2) y=y(t,y0) решение (1),(2*) т.е y(t0,y0*)=y0*, y(t)=x(t)+y(t,y0*) x(t) y(t)=y(t,y0*), Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*))) Приведенная задача: (1’) (2’) y(t,y0) – устойчивость(асимптотическая устойчивость) решения xзадачи (1’),(2’)	31.Теор. 2.: Пусть lÎС и `l комплексно-сопряж . Если y=γe^λx , где γЄ C^n явл-ся реш-ем с-мы(3), то ф-я `y(x) также явл-ся реш-ем с-мы (3). При этом, если y(x)=U(x)+iV(x) , где U(x), V(x) действит вектор-ф-ции, то U(x) и V(x) также реш-е с-мы (3). Док-во:` y=` γ` e^λx =` γ e`^λx ; согласно теор 1 явл-ся реш (3) т и т т когда λ явл-ся собст значением матр А а γ¹`0 соб вектор удовлет соб знач-ю λ, т е А γ= λ γ ; `А` γ=` λ` γ ; значит А γ=` λ `γ т е `λ – собст значение матр А, `γ-собст вектор приним собст знач `λ . По теор 1 в этом случае `y= γ e`^λx явл решением сист (3) Предст y(x)=U(x)+iV(x), где U(x) и V(x) действит вект ф-ия. По теор 3, если y(x) явл-ся реш сист (3), то U(x)=Rey(x) и v(x)=Jmy также реш с-мы (3) Лемма: Если y1(x), (x), y3(x),…, yn(x) - ФСР системы(5) и y1(x)=U(x)+iV(x), а =U(x)-iV(x) , где U(x), V(x) – действительные вектор-функции, то U(x), V(x), y3(x),…, yn(x) образуют ФСР системы. Док-во: y1(x),…yn(x) – ФСР, то W(0)=0, W(o)=W(U(x)+iV(x),U(x)-iV(x),y3(x),…yn(x))|x=0= =-2iW(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|x=0≠0, т.к W(0)=0,то W(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|x=0≠0 U(x),V(x),y3(x),…yn(x) –лин. незав. реш.(ФСР) 2)Кратные корни =Ay (3) A=||aij||n×n aijC, пусть λ1=λ2=…=λm=μ – корень кратности m характеристического уравнения системы (4) Теорема: пусть μ- корень кратности m характеристического уравнения системы (4), тогда система (5) имеет m линейно независимых решений вида: y=(γ0+γ1t+…+γm-1t^m^-1)e^μx, где γ0,γ1,γm-1C^n

37. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - комплексные. A=, ; Точки покоя: , , единственная точка покоя (0,0). det(A-λE) = 0 =0 – характеристическое уравнение. – корни характеристического уравнения. 1) =0, , , , т.е. нулевое реш. не явл. асимптотически уст. Решение периодично T= x(t)=x(t+T) y(t)=y(t+T) Все фазовые траектории замкнуты Центр (нет асимптотической устойчивости)	38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , A=, Точки покоя: , , единственная точка покоя (0,0). det(A-λE) = 0 =0 – характеристическое уравнение. – корни характеристического уравнения. кратные корни =+ -собственный вектор, отвечающий 1) Матрица А имеет 1 линейно независимый собственный вектор (к) а) асимптоти-чески устойчивая система Устойчивый вырожденный узел	39. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае . A=, Точки покоя: , det(A-λE) = 0 =0 – характеристическое уравнение. – корни характеристического уравнения. =0, пусть . =0. Точек покоя бесконечное множество Все точки покоя заполняют прямую . . , =+ параметрическое задание прямой с направляющим вектором а) все решения ограничены система устойчива.
40. Нелинейные системы. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова. dx/dt=f(t,x);(9) dxi/dt=fi(t,x1…xn); f(t,)=; пусть система (9) предст. в виде dx/dt=A(t)x+R(t,x) (10) где А(t)=aij(t), где aij(t) [t0;) выполняется неравенство: Тогда dx/dt=A(t)x называется системой первого приближения для (9),(10). Теорема Ляпунова: пусть вектор-функция R(t,x) непрерывно диффер. при (IIxII<C0) и для [t0;) а А(t), тогда 1)если все корни det(A-λE) = 0 имеют отриц. действит. корни, то нулевое решение системы (9) и (10) асимптот. устойчивое. 2)если сущ. Корень характер. уравнения, имеющий положит.действит. числа, то нулевое решение системы неустойчиво. (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА) Теорема. Если вектор-функция f(x) дважды непрерывно диффер. В окрестности точки х=0 и f(0)=0, то система dx/dt=f(x) приводится к виду dx/dt=A(t)x+R(t,x) и для нее справедливы условия теоремы Ляпунова.	35. Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы ОДУ, св-ва их фазовых траекторий. = (6) = i=1,…,n Считается, что определена и непрерывно дифференцируема в области G Пусть =(t), t –решение системы (6) Кривая Г: – -интегральная кривая системы (6) Гс – пространство решений Определение. Пространство называется фазовым пространством системы (6), а кривая , задаваемая направлением , где =(t)=(- решение системы (5), называется фазовой траекторией системы (5). Определение. Если функции не зависят явно от , т.е. система имеет вид (7) = ; = То система ОДУ называется автономной Определение. Точка =(,…, называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (7), если , т.е.	34. Теорема об устойчивости системы ЛДУ с постоянными коэффицентами. (5) = A=|||; Все решения системы определены на всей числовой оси Рассмотрим характеристическое уравнение системы: det(A-λE)=0; ,-корни характеристического уравнения. Теорема 3. 1) если все корни характеристического уравнения системы (5) =0 Имеют отрицательные действительные части (т.е. , то система асимптотически устойчива. 2) если хотя бы 1 корень характеристического уравнения с положительной действительной частью (т.е. к: , то система (5) неусточива Замечание. 1) Если <0, nN, R, то функции: , , ограничены на [0,+ и ==0; 2)Если то многочлена степени n функции:, , - ограниченны на [0,+ =0; 3) Если то функции ,, и - неограниченны на [0,+
	36. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - действительные. , Находим точки покоя — вектор скорости — единственная точка покоя (0,0) (x0,y0) — точка прямой — все точки плоскости есть точки покоя. — характеристическое уравнение — корни , 1° , — общее решение

39. асимптотической устойчивости нет так как: б) неустойчивая система 2)=0 =+, Решение ненулевое неограниченно система неустойчива. II) A точки покоя - все точки плоскости	б) неустойчивая система Неустойчивый вырожденный узел 2) Матрица А имеет 2 линейно независимых собственных вектора , =+= , y=x a), асимптотически устойчивая система устойчивый дикритический узел б) неустойчивая система неустойчивый дикритический узел	37. а) =Re,, Система асимптотически устойчива; фазовые траектории: спирали, накрученные на точку покоя Устойчивый фокус а) =Re, Система неустойчива; фазовые траектории: раскрученные спирали Неустойчивый фокус
	Свойства фазовых траекторий автономной системы 1) Если точка =(,…,-точка покоя системы (7), то вектор-функция (t) является решением системы (7) Док-во: ===f((t)- решение (7) 2) Если точка покоя системы (7), то – фазовая траектория системы (7) Док-во: (t)- решение (7) Замечание: Точка покоя = называется (ассимтотически) устойчивой или неустойчивой, если устойчиво или (ассимтотически устойчиво или неустойчиво) решение (t). 3) Если фазовая траектория отлична от точки покоя, то она является гладкой кривой(т.е. в каждой её точке ненулевой касательный вектор). 4) Если =(t)- решение системы (7), то для вектор-функция =(t+с)- также решение системы (7) и фазовые траетории этих решений совпадают. 5) 2 фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают. 6) следующие типы фазовых траекторий: 1. Точка (положение равновесия); 2.гладкая замкнутая кривая (цикл); 3.гладкая кривая без точек самопересечения;
	—2 луча, соответствующих. —2 луча, соответствующих. , — система асимптотически устойчива. () , — система неустойчива.