Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / для печати / Билет 7

Билет 7. Свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема. Б.м.п. является ограниченной.

● Пусть {x_n} – б.м.п.  >0 n₀N n>n₀ |x_n|<. Обозначим через M = max{x₁, x₂…x_n, } тогда nN |x_n|≤M => {x_n} – ограничена. ●

Теорема. Сумма (разность) двух б.м.п. есть б.м.п.

● Пусть {x_n} и {y_n} б.м.п.

{x_n}: >0 n₁N n>n₁ |x_n|<1/2

{y_n}: >0 n₂N n>n₂ |x_n|<1/2

Пусть n₀=max{n₁, n₂} тогда n>n₀ |x_ny_n|≤|x_n||y_n| < /2+/2=. Модуль суммы меньше суммы модулей => >0 n₀N n>n₀ |x_ny_n|< => {x_ny_n} б.м.п. ●

Сумма любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

Теорема. Произведение б.м.п. на огранич. последовательность есть б.м.п.

● Пусть {y_n} ограничена a>0 nN |y_n|≤a. {x_n} – б.м.п. >0 n₀N n>n₀ |x_n|</a. Следовательно |x_n*y_n|<|a||x_n|<a*/a=.

n>n₀ => {x_n*y_n} – б.м.п. ●

Теорема. Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.

● Одну из них рассмотреть как огранич. и затем доказать по теореме ●

Произведение любого числа бесконечно малых послед. есть б.м.п.